Диагонализация/собственные значения бесконечномерной матрицы N гармонических осцилляторов на кольце

Question

Диагонализация/собственные значения бесконечномерной матрицы N гармонических осцилляторов на кольце

Физика
интеграл по путям
квантовая механика
математическая физика
уравнение Клейна-Гордона

пользователь7757

Я пытался показать, что континуальный предел N квантовых гармонических осцилляторов порождает поле Клейна-Гордона. Однако вместо обычной конечной струны я хочу сделать это на кольце. Следовательно, мой лагранжиан

л "=" \frac{м}{2} ({\dot{д_{1}}}^{2} + {\dot{д_{2}}}^{2} + . . . . {\dot{д_{н}}}^{2}) - \frac{м ю^{2}}{2} [(д_{1} - д_{2})^{2} + (д_{2}^{2} - д_{3}^{2}) + . . . . (д_{н} - д_{1})^{2}]

$L=\frac{m}{2}(\dot{q_1}^2+\dot{q_2}^2+.... \dot{q_n}^2)-\frac{m \omega^2}{2}[(q_1-q_2)^2+(q_2^2-q_3^2)+....(q_n-q_1)^2]$

Так что матрица для V равна

$V=\begin{pmatrix} 2 & -1 &0 &. &. &. &-1\\-1&2&-1\\0 &-1 &2 &-1 \\.\\.\\.\\-1 &&.&.&.&-1 & 2 \end{pmatrix}$

Так что $L=\frac{m}{2}[\dot{x}^2-\omega^2 x^{T}V{x}]$ . Все величины здесь являются матрицами.

Как найти собственные значения этой матрицы?

Я пытался найти рекуррентную связь между характеристическим полиномом $N$ и $N-1$ размерная матрица, но у меня не получилось. Это правильный метод? Какой еще метод есть?

После нахождения собственных значений лагранжиан можно записать разделенным на его нормальные моды, а пропагатор или ядро можно легко найти, используя пропагатор свободной частицы. Предел этого как $N\to \infty$ должно быть поле Клейна Гордона.

Но я застрял на этом. Любая помощь будет оценена.

Петр Кравчук

В некоторых случаях (и думаю, что и у вас может получиться) достаточно использовать анзац

q_{l} = ℜ \exp (i k l - i ω t), 1 \leq l \leq n

$q_l=\Re\exp(ikl-i\omega t),\,1\leq l\leq n$ . Попробуйте решить для

k

$k$ и покажите, что у вас есть нужное количество решений (

n

$n$ решения). Обратите внимание, однако, что в вашем случае вы должны учитывать нулевой режим

q_{l} = v t

$q_l=vt$ -- правильное вращение -- отдельно, так что придется поискать

n - 1

$n-1$ только решения.

Тримок

Сначала удалите диагональ «2». Тогда у вас есть матрица

V'

$V′$ с

V' = (a + a^{- 1})

$V′=(a+a^{−1})$ где

a^{n} = I d

$a^n=Id$ . Итак, у вас легко есть собственные значения

a

$a$ . И собственный вектор a также является собственным вектором

V^{'}

$V'$ . Итак, у вас есть собственные значения

V^{'}

$V'$ , и добавив 2, из

V

$V$ .

Тримок

Извините, я забыл

(- 1)^{n}

$(-1)^n$ фактор :

a^{n} = (- 1)^{n} I d

$a^n = (-1)^n Id$

Петр Кравчук

@Trimok, это хорошо, но вам нужно придумать какой-то аргумент, чтобы показать, что вырождения нет, и у вас есть все корни единицы в спектре

a

$a$ .

Гейдар

Интересно, есть ли какая-то глубокая причина, по которой матрица

V

$V$ расширенная матрица Картана для

s l (N, C) = s u (N)^{C}

$\mathfrak{sl}(N,\mathbb C) = \mathfrak{su}(N)^{\mathbb C}$ , или, точнее, аффинная алгебра Ли

\hat{s l} (N, C)

$\hat{\mathfrak{sl}}(N,\mathbb C)$ .

Тримок

@PeterKravchuk: Правильно, но очевидно, нет? :

n

$n$ корни из единицы различны и являются собственными значениями, и их не более

n

$n$ собственные значения для

n

$n$ раз

n

$n$ матрица, поэтому вырождения нет. Кстати, матрица a называется матрицей смещения или матрицей со структурой смещения.

Тримок

@PeterKravchuk: Может быть, вы оцените другие виды трехдиагональных матриц, такие как эта

Петр Кравчук

@Trimok, я имею в виду, что

{I d}^{2} = I d

$\mathrm{Id}^2=\mathrm{Id}$ , но это не значит, что

- 1

$-1$ является собственным значением

I d

$\mathrm{Id}$ . Наверное, я пропустил ваш аргумент. Спасибо за ссылку.)

Тримок

@PeterKravchuk : Возможно, вы правы, но ваш контрпример мультипликативен, а в данном случае - аддитивен (

a + a^{+}

$a + a^+$ )

Петр Кравчук

@Trimok, я имею в виду собственные значения

a

$a$ . Откуда ты знаешь, что они не все, скажи,

\pm 1

$\pm 1$ ?

Ответы (1)

Диагонализация/собственные значения бесконечномерной матрицы N гармонических осцилляторов на кольце

В некоторых случаях (и думаю, что и у вас может получиться) достаточно использовать анзац $q_l=\Re\exp(ikl-i\omega t),\,1\leq l\leq n$ . Попробуйте решить для $k$ и покажите, что у вас есть нужное количество решений ( $n$ решения). Обратите внимание, однако, что в вашем случае вы должны учитывать нулевой режим $q_l=vt$ -- правильное вращение -- отдельно, так что придется поискать $n-1$ только решения.
Сначала удалите диагональ «2». Тогда у вас есть матрица $V′$ с $V′=(a+a^{−1})$ где $a^n=Id$ . Итак, у вас легко есть собственные значения $a$ . И собственный вектор a также является собственным вектором $V'$ . Итак, у вас есть собственные значения $V'$ , и добавив 2, из $V$ .
Извините, я забыл $(-1)^n$ фактор : $a^n = (-1)^n Id$
@Trimok, это хорошо, но вам нужно придумать какой-то аргумент, чтобы показать, что вырождения нет, и у вас есть все корни единицы в спектре $a$ .
Интересно, есть ли какая-то глубокая причина, по которой матрица $V$ расширенная матрица Картана для $\mathfrak{sl}(N,\mathbb C) = \mathfrak{su}(N)^{\mathbb C}$ , или, точнее, аффинная алгебра Ли $\hat{\mathfrak{sl}}(N,\mathbb C)$ .
@PeterKravchuk: Правильно, но очевидно, нет? : $n$ корни из единицы различны и являются собственными значениями, и их не более $n$ собственные значения для $n$ раз $n$ матрица, поэтому вырождения нет. Кстати, матрица a называется матрицей смещения или матрицей со структурой смещения.
@PeterKravchuk: Может быть, вы оцените другие виды трехдиагональных матриц, такие как эта
@Trimok, я имею в виду, что $\mathrm{Id}^2=\mathrm{Id}$ , но это не значит, что $-1$ является собственным значением $\mathrm{Id}$ . Наверное, я пропустил ваш аргумент. Спасибо за ссылку.)
@PeterKravchuk : Возможно, вы правы, но ваш контрпример мультипликативен, а в данном случае - аддитивен ( $a + a^+$ )
@Trimok, я имею в виду собственные значения $a$ . Откуда ты знаешь, что они не все, скажи, $\pm 1$ ?

Петр Кравчук · Answer 1

Вы хотите найти собственные частоты этой системы. Во-первых, обратите внимание на существование нулевой моды:

д_{л} "=" в т + ф_{л},

$q_l=vt+\phi_l,$ это «равновесие», вращающееся с произвольной скоростью.

Далее имеем уравнения

{\ddot{д}}_{л} "=" - ю^{2} (2 д_{л} - д_{л - 1} - д_{л + 1})

$\ddot{q}_l=-\omega^2(2q_l-q_{l-1}-q_{l+1})$ и условие периодичности

q_{l + n} = q_{l}

$q_{l+n}=q_l$ . Применим анзац для собственных векторов

д_{л} "=" ℜ А опыт (я к л - я Ом т) .

$q_l=\Re A\exp(ikl-i\Omega t).$ Замена читает

{Ом}^{2} "=" ю^{2} (2 - е^{- я к} - е^{я к}) "=" 2 ю^{2} (1 - потому что к),

$\Omega^2=\omega^2(2-e^{-ik}-e^{ik})=2\omega^2(1-\cos k),$ а условие периодичности

n k = 2 π m, m \in Z

$nk=2\pi m,\,m\in\mathbb{Z}$ . Давайте ограничим

k

$k$ к

(0, 2 π)

$(0,2\pi)$ , чтобы исключить двойной счет собственных векторов и нулевую моду. Затем

m = 1, \dots, n - 1

$m=1,\dots,n-1$ , а собственная частота:

{Ом}^{2} "=" 2 ю^{2} (1 - потому что \frac{2 π м}{н}), м е {1 \dots н - 1} .

$\Omega^2=2\omega^2(1-\cos \frac{2\pi m}{n}),\,m\in\{1\dots n-1\}.$ Таким образом, у нас есть

n - 1

$n-1$ векторы вида

q_{l} = ℜ A \exp (i k l - i Ω t)

$q_l=\Re A\exp(ikl-i\Omega t)$ с указанной выше собственной частотой и одной нулевой модой, определяемой выражением

q_{l} = v t + l δ

$q_l=vt+l\delta$ ,

δ

$\delta$ является равновесным расстоянием с нулевой частотой. Итак, полный спектр читается как

{Ом}^{2} "=" 2 ю^{2} (1 - потому что \frac{2 π м}{н}), м е {0 \dots н - 1} .

$\Omega^2=2\omega^2(1-\cos \frac{2\pi m}{n}),\,m\in\{0\dots n-1\}.$ (Обратите внимание, что это полный спектр, так как мы нашли все

n

$n$ собственные векторы).

Изменить: обратите внимание, что пока $n-m$ соответствует тому же собственному значению, что и $m$ , у нас есть два разных собственных вектора для каждого собственного значения, потому что $A$ может быть сложным. Например, мы можем взять $q_l=\cos(kl-\Omega t)$ и $q_l=\sin(kl-\Omega t)$ , $k=\frac{2\pi m}{n}$ .

Диагонализация/собственные значения бесконечномерной матрицы N гармонических осцилляторов на кольце

пользователь7757

Петр Кравчук

Тримок

Тримок

Петр Кравчук

Гейдар

Тримок

Тримок

Петр Кравчук

Тримок

Петр Кравчук

Ответы (1)

Петр Кравчук

Включает ли интеграл Фейнмана разрывные траектории?

Аномалия в квантовой механике в формулировке интеграла по путям

SUSY QM и теорема Атьи-Зингера об индексе

Вычисление суммы сферических гармоник в пропагаторе частицы на сфере

Интуиция для интегралов пути и как их оценить

Отрицательные вероятности в квантовой физике

Формулировка интеграла по путям в квантовой механике

Интеграл по путям в QM против QFT

Действительно ли это строгое определение интеграла по траекториям в квантовой механике?

Мера интеграла Фейнмана по траекториям