Космический перевод операторов, состояний и плотностей частиц

Это действительно сбивает с толку, поскольку знаки меняются в зависимости от того, действуете ли вы на состояния или на операторы.

Таким образом, если у вас есть состояние$|\Psi\rangle$и работать с ним с переводом$U=e^{-ipa}$Вы получаете

$$\langle x|e^{-ipa}|\Psi\rangle = e^{-a\frac d{dx}}\langle x|\Psi\rangle =\sum_{n=0}^\infty\frac{(-a)^n}{n!}\frac{d^n\langle x|\Psi\rangle}{dx^n}=\langle x-a|\Psi\rangle.$$ (Здесь я реализовал отношение $``p=-i\frac d{dx}\text'\text'$как его более строгая форма $\langle x|p=-i\frac d{dx}\langle x|$, что переводит вышесказанное в форму $\langle x|e^{-ipa}=e^{-a\frac d{dx}}\langle x|=\langle x-a|$.)

Если вы рассматриваете ожидаемые значения, вам нужно рассчитать что-то вроде$\langle \Psi'|f(\hat x)|\Psi'\rangle$, где$f$это любая функция (только здесь для ясности добавлена ​​шляпа) и$|\Psi'\rangle=U|\Psi\rangle$. Такое ожидаемое значение может быть записано как

$$\langle\Psi|U^\dagger f(x)U|\Psi\rangle =\int\text dx\langle \Psi|U|x\rangle f(x)\langle x|U|\Psi\rangle=\int\text dx\langle \Psi|x-a\rangle f(x)\langle x-a|\Psi\rangle =\langle\Psi|f(x+a)|\Psi\rangle.$$ Это также то, что вы получаете от алгебры операторов, которую вы сделали правильно.

---

Однако есть одно обстоятельство, при котором это трансформируется иначе. Если$\rho(x)$- плотность вероятности, то это действительно означает диагональные элементы матрицы плотности,

$$\rho(x)=\rho(x,x)=\langle x|\Psi\rangle\langle\Psi|x\rangle.$$ В этом случае термин $e^{ipa}\rho(x)e^{-ipa}$это действительно сокращенный способ сделать $U$воздействовать на состояние, рассматриваемое в основе положения, так что $$e^{ipa}\rho(x)e^{-ipa} :=\langle x|U^\dagger|\Psi\rangle\langle\Psi|U|x\rangle =\langle x-a|\Psi\rangle\langle\Psi|x-a\rangle =\rho(x-a)$$ как в утверждении Коулмана.

---

Добавлен:

То, что на самом деле делает Коулман, похоже на вышеизложенное, но не совсем. Для него$\rho(x)$- оператор электронной плотности в положении$x$. Это значит, что$x$здесь просто число и$\rho(x)$является оператором; когда он говорит, что это «просто дельта-функция», он имеет в виду выражение вида

$$\rho(x)=\delta(\hat x-x),$$ или сумма таких терминов, если нужно бороться более чем с одним электроном. На мой взгляд, это выражение дельта-функции слишком усложняет ситуацию, и его можно выразить гораздо проще: $$\rho(x)=|x\rangle\langle x|$$ (или сумма таких членов), которую можно получить из вышеизложенного, подставив $1=\int\text dx' |x'\rangle \langle x'|$.

Теперь ясно, что в данном случае$\rho(x)$должен преобразовываться как состояние, а не как оператор. Вы можете видеть это как

$$\langle x'|e^{ipa}|x\rangle =\langle x'+a|x\rangle =\langle x'|x-a\rangle \quad\text{so}\quad e^{ipa}|x\rangle=|x-a\rangle,$$ и аналогично на сопряженном, или вы можете увидеть это как $\langle x|e^{-ipa}=\langle x-a|$левое умножение на его сопряженное.

Связь с приведенным выше расчетом интересна: Коулмана интересует физическая величина$\langle \Psi|\rho(x)|\Psi\rangle$, а это равно диагональным элементам матрицы плотности,$\langle x|\Psi\rangle\langle \Psi|x\rangle$, что рассмотрено выше. Разумеется, обе величины должны одинаково преобразовываться при одном и том же переносе.

Я хотел бы добавить некоторые уточнения к ответу Эмилио Писанти и показать, что вы должны быть осторожны с обозначениями$O(x)$, когда$O$является оператором.

Перевод$x \to x'=x +a$, индуцирует преобразование в пространстве состояний, которое есть:

$$|\psi\rangle \to |\psi'\rangle = e^{-ia.P}|\psi\rangle \tag{1}$$

Это соответствует преобразованию:

$$\langle x |\psi\rangle \to \langle x |\psi'\rangle = \langle x - a|\psi\rangle \tag{2}$$ То есть :

$$\psi(x) \to \psi'(x) = \psi(x-a) \tag{2a}$$

Оператор$O$трансформируется как:

$$O \to O' = e^{-ia.P} ~ O~e^{ia.P} \tag{3}$$ Вы можете проверить, что все это связно и что объект $O|\psi \rangle$трансформируется как состояние.

Преобразование$(3)$соответствует преобразованию:

$$\langle x |O| y\rangle \to \langle x |O'| y\rangle \tag{4} = \langle x -a |O| y -a\rangle$$ То есть :

$$O(x,y) \to O'(x,y) = O(x-a,y-a)\tag{4a}$$

Теперь, если вы сравните свою первую формулу с формулой$(3)$, вы видите инверсию знака, поэтому, начиная с вашей формулы (которая соответствует переводу$x \to x - a$), Мы будем иметь :

$$O(x,y) \to O'(x,y) = O(x+a,y+a)\tag{4b}$$ что верно для любого оператора, поэтому верно и для оператора плотности. Конечно, вас могут интересовать только диагональные члены, с $x=y$, но это только частный случай формулы $4b$, то есть :

$$O(x,x) \to O'(x,x) = O(x+a,x+a)\tag{4b'}$$

Итак, если вы понимаете все это, вы можете написать в краткой записи$O(x) = O(x,x)$, но если у вас есть какие-то трудности, то лучше его не использовать, а использовать обозначения$O,\langle x |O| y\rangle, O(x,y), O(x,x)$

Значит, ваш расчет верен.