Дифференциальная геометрия групп Ли

То, что я собираюсь сказать, применимо только к группам Ли с конечномерными алгебрами Ли. В этом случае возможен естественный выбор метрики для группы Ли при некоторых предположениях. Соответствующие конструкции определены в алгебре Ли группы.

В алгебре Ли$\mathfrak{g}$, мы можем определить для каждого элемента$X \in \mathfrak{g}$, присоединенное действие на самой алгебре, заданное ее скобкой Ли$ad_X(.)=[X,.]$. Теперь мы можем определить симметричную билинейную форму на$\mathfrak{g}$, Убийственная форма, автор$B(X,Y)=Tr(ad_X ad_Y)$, поскольку$ad_X$можно выразить через матрицу, действующую на векторы алгебры Ли. Теперь мы имеем, что эта форма также будет невырожденной тогда и только тогда, когда$\mathfrak{g}$является полупростым (критерий Картана). Эта форма теперь определяется только в касательном пространстве над единицей группы. Мы можем определить метрику, используя тот факт, что любое касательное пространство может быть отображено для такой группы Ли в касательное пространство над единицей. Эта метрика может не быть положительно определенной, но в определенном случае, как если бы группа Ли была компактной, форма Киллинга отрицательно определена, и, таким образом, мы можем сформировать положительно определенную метрику, используя$-B(X,Y)$.

Теперь форма Убийства будет инвариантной при$ad$. Взяв производную Ли по$X \in \mathfrak{g}$определенной выше метрики, получим$B(ad_X(Y),Z) - B(Y,ad_X (Z)) = 0$. При продлении этого$X$для инвариантного справа векторного поля в группе Ли это свойство сохраняется, что означает, что это векторное поле является Киллинговым или состоит из Киллинговых векторов. Это показывает, что есть способ связать некоторые векторы Киллинга с основной группой.

Что касается вашего вопроса о квантовой теории поля над группой Ли, я не уверен. Если вы выберете указанную выше метрику, у вас также будут симметрии, сгенерированные полями Киллинга, полученными через структуру алгебры Ли. Это означает, что ваши поля QFT должны быть представлениями для группы этих симметрий.

Я не теоретик поля, но могу сказать, что если вы сформулируете теорию о группе Ли, а не об общем многообразии, эта теория наверняка унаследует свойства, которых у нее может не быть в общем гладком многообразии. Группы Ли - это чрезвычайно специальные многообразия: некоторые из их свойств, которых нет у общих многообразий, заключаются в следующем:

1. Фундаментальная группа абелева, как и все топологические группы. Напротив, для каждой конечно определенной группы можно найти гладкое многообразие с этой группой в качестве фундаментальной группы. Дополнением узла-трилистника является многообразие с неабелевой группой кос$B_3$и, таким образом, прекрасный контрпример (см. раздел B в главе 6, начинающийся со стр. 51 в «Узлах и связях» Рольфсена для хорошего обсуждения этого).

2. Многообразие параллелизуемо : лево- и правоинвариантные векторные поля нигде не обращаются в нуль. Неформально, волосы группы Ли всегда можно везде причесать. Таким образом, существует группа Ли, являющаяся тором, и группа Ли, представляющая собой трехмерную сферу (как в вашем примере$SU(2)$), но не существует группы Ли, которая также является 2-сферой, поскольку это исключается теоремой о волосатом шаре.

3. С помощью операций переноса влево/вправо можно определить понятие параллельного переноса на группе Ли, которая не зависит от пути. Так что можно дать плоскую связь. Естественно, здесь имеется ненулевое кручение (и, естественно, это не связь Леви-Чивиты, которая может быть определена для компактных групп через метрику формы Киллинга, о которой говорилось в Ответе Г. Бержерона ) .

Наконец, интересно, что нужно только ( i ) показать, что топологическая группа локально гомеоморфна группе$\mathbb{R}^N$и ( ii ) показать, что оно не обладает свойством малых подгрупп, и тогда результаты Монтгомери-Циппина-Глисона-Ямабе берут верх и гарантируют группу Ли и, следовательно, гладкость многообразия (на самом деле$C^\omega$) автоматически. См. Вики-страницу Пятой проблемы Гильберта . Терренс Тао также отлично описывает эту замечательную работу в своей статье «Пятая проблема Гильберта и метрики Глисона» в своем блоге.