Спиноры и тензоры: какова форма матрицы преобразования спина?

Спинорные представления существуют только в евклидовых пространствах или пространствах Минковского, но не в пространствах, которым нужны более общие координаты, такие как искривленные пространства. Тем не менее, можно использовать локальные фреймы Минковского, которые можно построить с помощью так называемых тетрад.$e^a_\mu(x)$. Таким образом, вектор, общие координаты которого пронумерованы греческим индексом$\mu$например, может быть преобразован в локальную систему Минковского, координаты которой нумеруются латинским индексом$a$:

$V^a = e^a_\mu(x) V^\mu$

Спиноры живут только в локальных системах Минковского. Группа преобразований, которая управляет здесь правилами преобразования, — это группа Лоренца. Таким образом, векторы в этой системе отсчета преобразуются в соответствии с преобразованиями Лоренца:

$V^a = \Lambda^a_{\,b} V^b$

Помимо 4-векторов могут существовать и спиноры, поскольку группа Лоренца имеет двузначные спинорные представления. В вашем посте не указан тип спинора, поэтому на самом деле это может быть спинор Вейля, спинор Майорана или спинор Дирака. В то время как спиноры Майорана и Дирака преобразуются в соответствии с приводимыми представлениями группы Лоренца, спиноры Вейля преобразуются в соответствии с неприводимым фундаментальным спинорным представлением группы Лоренца. Чтобы быть полным, на самом деле существуют 2 типа фундаментальных спинорных представлений, которые различаются обозначением индекса. «Первый» имеет индексы без точки, второй отмечен пунктирными индексами. После первого представления$(\mathbf{v},\vec{\alpha})\rightarrow A$известно, второе комплексно сопряжено с первым:$(\mathbf{v},\vec{\alpha})\rightarrow A^\ast$. Это второе представление не эквивалентно первому.

Матрицы представления фундаментального спина$A\in SL(2,\mathbf{C})$образуют группу$2x2$унимодулярные матрицы, т.е.$det(A)=1$. Эти матрицы не являются унитарными, если бы они были только одним типом спин-представления. На самом деле это так, если преобразования ограничены группой вращения, в этом частном случае$A\in SU(2)$.

Наконец, поскольку теория представлений группы Лоренца хорошо известна, я могу даже привести форму спинового представления (без точек):

$$A = \exp(-\frac{1}{2}\mathbf{u}\vec{\sigma}) \exp(-\frac{i}{2}\vec{\alpha}\vec{\sigma})$$

где$\vec{\sigma}$– матрицы Паули,$\vec{\alpha}$вектор вращения и$\mathbf{u} = artanh(v)R(\vec{\alpha})\frac{\mathbf{v}}{v}\quad v=|\mathbf{v}|$.$\alpha$и$\mathbf{v}$- это 6 параметров, которые параметризуют группу Лоренца (вращения в сочетании с повышениями).

Последнее замечание: матрицы$A$преобразовать контравариантные спиноры:

$\Psi'^a = A^a_{\, b} \Psi^b$

тогда как спиноры с ковариантными индексами преобразуются в соответствии с контрагредиентной матрицей$A^{-1\,T}$(Это то же самое, что и с 4-векторами, которые преобразуются либо в соответствии со стандартным преобразованием Лоренца, либо в соответствии с контраградиентным преобразованием, если они имеют ковариантные индексы). Представление контраградиентного спина эквивалентно$A$, т.е. существует матрица$S$с$A^{-1\,T} = SAS^{-1}$:

$$\Phi' = A^{-1\,T} \Phi \quad\quad \text{with indices} \quad\quad \Phi'_a = A_a^{\,b} \Phi_b$$