Зачем для введения спинорных полей нужна эта карта в определении спинорной структуры?

Начну с того, что я сейчас понимаю. Пусть ${\rm SO}(1,3)$— собственная ортохронная группа Лоренца. Его универсальное покрытие ${\rm SL}(2,\mathbb{C})$. Представления его универсального покрытия помечены парами целых или полуцелых чисел $(A,B)$какая метка ${\frak su}_\mathbb{C}(2)$представления. Представления с $A+B$целочисленный спуск к истинным представлениям ${\rm SO}(1,3)$а те что с $A+B$полуцелых нет, и это спинорные представления.

В частности имеем например $(\frac{1}{2},0)$и $(0,\frac{1}{2})$Спиноры Вейля. Сами спиноры являются элементами $\mathbb{C}^2$и при заданном $\Lambda \in {\rm SL}(2,\mathbb{C})$мы знаем, как оно действует на них через представления $D^{(\frac{1}{2},0)}(\Lambda)$и $D^{(0,\frac{1}{2})}(\Lambda)$.

Теперь, учитывая эту установку, мы хотели бы поговорить о спинорных полях в некотором общем пространстве-времени $(M,g)$. Поскольку спиноры вводятся как элементы пространства представления универсального покрытия ${\rm SO}(1,3)$неудивительно, что связанные поля должны поступать как разделы ассоциированного пучка к главному ${\rm SL}(2,\mathbb{C})$-пучок. Однако происходит то, что часто говорят, что нужна спиновая структура, которую можно определить следующим образом:

Определение : Пусть $(M,g)$полуриманово многообразие сигнатуры $(t,s)$и пусть $F(M)$— ассоциированный главный ${\rm SO}(t,s)$-расслоение ортонормированных реперов. Спиновая структура на $(M,g)$является главным ${\rm Spin}(t,s)$-расслоение $\pi_S:S(M)\to M$вместе с отображением главного расслоения $\Phi : S(M)\to F(M)$такое , что

$$\Phi(s\cdot \Lambda)=\Phi(s)\cdot \rho(\Lambda),$$ где $\rho: {\rm Spin}(t,s)\to {\rm SO}(t,s)$является покрывающей картой.

Чего я не понимаю, так это того, как эта структура используется на практике. Зачем нам нужно это отображение $\Phi : S(M)\to F(M)$? Почему нам нужно соединить два пучка вместе, чтобы иметь возможность говорить о спинорных полях?

Потому что, если у нас есть только один ${\rm Spin}(t,s)$-bundle - или в подписи $(1,3)$один ${\rm SL}(2,\mathbb{C})$-расслоение — похоже, мы уже можем взять спинорные представления, такие как представления Вейля, и выполнить соответствующую конструкцию расслоения для построения спинорных полей. Почему, помимо того, что через это отображение $\Phi$необходимо?