Дифференциальные реализации некоторых алгебр

Дифференциальные реализации алгебр распространены в физике. Вот общая идея для алгебр Ли.

Немного фона.

Напомним, что алгебра — это пара$(V,[\cdot,\cdot])$где$V$векторное пространство над полем$\mathbb F$и$[\cdot,\cdot]$является$\mathbb F$-билинейное отображение из$V\times V$к себе. Мы называем отображение$[\cdot, \cdot]$кронштейн . _ Алгебра называется алгеброй Ли , если скобка удовлетворяет следующим двум свойствам для всех$x,y,z\in V$:

$$\begin{align} 0&=[x,x] \tag{L1}\\ 0&= [x,[y,z]] + [z,[x,y]]+[y,[z,x]]. \tag{L2} \end{align}$$ Свойство $(\mathrm{L2})$называется тождеством Якоби . Линейное отображение $\phi$между двумя алгебрами Ли $\mathfrak g$и $\mathfrak h$называется гомоморфизмом , если он сохраняет скобку, а именно $$\begin{align} \phi([x,y]_\mathfrak g) = [\phi(x), \phi(y)]_\mathfrak h. \end{align}$$ Представление алгебры Ли $\mathfrak g$над полем $\mathbb F$является гомоморфизмом $\phi:\mathfrak g\to \mathfrak {gl}(V)$где $V$векторное пространство над $\mathbb F$. Здесь $\mathfrak{gl}(V)$обозначает множество всех линейных отображений из $V$к $V$который образует алгебру Ли, когда скобка считается коммутатором, индуцированным композицией функций; $[f,g] = f\circ g - g\circ f$.

Представления дифференциальными операторами.

Часто в физике рассматривается представление алгебры Ли$\mathfrak g$который отображает каждый элемент алгебры Ли в линейный дифференциальный оператор на некотором векторном пространстве функций. Это то, что делают газеты, когда находят дифференциальные отношения алгебр Ли.

Пример.

Трехмерная алгебра Гейзенберга , также известная физикам как алгебра гармонического осциллятора , представляет собой трехмерное комплексное векторное пространство с базисом$\{a, a^\dagger, I\}$и скобка, определяемая следующими структурными отношениями:

$$\begin{align} [a,a^\dagger] = I, \qquad [a,I]=0, \qquad [a^\dagger, I]=0. \end{align}$$ В общем, структурные отношения — это просто отношения, которые определяют действие скобки Ли на все различные пары базисных элементов. Теперь рассмотрим линейное отображение $\phi:\mathfrak g\to \mathfrak {gl}(L^2(\mathbb R))$определяется его действием на $a,a^\dagger, I$следующее: $$\begin{align} \phi(a) &= \frac{1}{\sqrt{2}}(P - i X), \qquad \phi(a^\dagger) = \frac{1}{\sqrt{2}}(P + i X), \qquad \phi(I) = I \end{align}$$ где $P,X,I$определяются $$\begin{align} (Pf)(x) &= -i\frac{df}{dx}(x), \qquad (Xf)(x) = xf(x), \qquad (If)(x) = f(x) \end{align}$$ Можно показать (попробуйте!), что это отображение является гомоморфизмом алгебры Ли, поэтому оно представляет собой представление алгебры гармонических осцилляторов посредством дифференциальных операторов в векторном пространстве квадратично интегрируемых комплекснозначных функций на вещественной прямой.

Как найти такие представления.

Я не уверен, как можно было обнаружить представление$\phi$выше для алгебры гармонических осцилляторов, но общий способ создания таких представлений алгебр Ли состоит в том, чтобы определить риманово или полуриманово многообразие$(M,g)$чья алгебра векторов Киллинга является алгеброй, которую вы ищете. Затем векторы убийства дают желаемое представление в терминах дифференциальных операторов, действующих в векторном пространстве скалярных функций на многообразии, если вы можете решить уравнение Киллинга.

Например, предположим, что мы хотим определить представление$\mathfrak{so}(3)$в терминах дифференциальных операторов. Рассмотрим взять риманово многообразие$S^2$. Это алгебра векторов убийства$\mathfrak{so}(3)$, алгебра Ли трехмерной группы вращений. Каковы векторы убийства? Ну, в сферических координатах метрика

$$\begin{align} ds^2 = d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2 \end{align}$$ и в этих координатах получаются следующие векторы гибели: $$\begin{align} R &= \partial_\phi \\ S &= \cos\phi\partial_\theta - \cot\theta \sin\phi\partial_\phi \\ T &= -\sin\phi\partial_\theta - \cot\theta \cos\phi\partial_\phi \end{align}$$ что, как вы можете проверить, взяв коммутаторы, дает желаемое представление $\mathfrak {so}(3)$как дифференциальные операторы, действующие на векторном пространстве скалярных функций на $S^2$.