Это доказательство того, что представляет то же уравнение движения с через уравнение Лагранжа. Я понимаю удовлетворяет уравнению Лагранжа, но как это доказательство означает и описать одно и то же движение частицы? Другими словами, почему член общей производной по времени, который добавляется к нет разницы в уравнении движения?
Вы видели, что замена
Рассмотрим конкретный пример. Возьмем лагранжиан простого гармонического осциллятора:
Вот еще один способ подумать об этом, используя версию уравнений Эйлера-Лагранжа с вариационным принципом.
Действие и отличаются .
С является константой, пути, которые экстремальны и одинаковы.
Ну ты только что показал верно? уравнение движения для , другими словами, это уравнение означает именно то, что: и приведите такое же уравнение движения для q.
Если вы будете следовать некоторым шагам вывода, вы можете задаться вопросом, в чем важность производной по времени от имеет значение. Одно из уравнений, представленных в вопросе, то, под которым говорится, что «показано, что оно верно, потому что», является ключевым. Это уравнение говорит:
.
Это уравнение говорит, хотя и не очевидно, что последние два члена в четвертом уравнении в вопросе, особенно это уравнение:
.
на самом деле равны и, следовательно, сокращаются. Итак, вы остались с
Отсюда вы можете получить уравнения движения, как если бы вы . Так и дают те же уравнения движения.
Но чтобы понять, почему производная по времени от важно, и не только , давайте начнем с третьего члена, который и напишите как . Теперь вы можете видеть, что мы берем часть скорости изменения относительно скорости изменения . Также не указано в вопросе, требуется, чтобы является функцией и . То есть
Таким образом, мы можем сбросить часть скорости изменения и просто оставить производную от относительно и получить , который что совпадает с четвертым членом, и поэтому они сокращают друг друга.
Без перед это не сработало бы. Таким образом, добавляя к лагранжиану полную производную по времени от функции и не меняет уравнений движения
Это можно легко рассчитать, как видно на прикрепленном изображении.
Qмеханик
пользователь3728501