Как я могу сказать, что круговое движение является решением для частицы, ограниченной поверхностью конуса?

Если вы хотите узнать, является ли конкретная функция$z(t)$представляет разрешенное движение частицы, все, что вам нужно сделать, это проверить, удовлетворяет ли оно уравнению движения (дифференциальному уравнению в вашем вопросе). Если вы подключите функцию и получите математическое противоречие, это не решение. В противном случае это так. (Иногда вы должны быть осторожны с угловыми случаями, но это не тот случай.)

Возможно, это поможет вам подумать об этом так: когда проблема говорит

«можно увидеть», что одно из решений этой проблемы дается круговым движением на постоянной высоте.$z_c$

значит есть какая-то постоянная$z_c$такой, что$z(t) = z_c$является решением дифференциального уравнения. Теоретически вы можете систематически тестировать каждую возможную высоту, пока не найдете ту, которая работает, т.$z(t) = 1\text{ m}$,$z(t) = 2\text{ m}$и т. д. в дифференциальное уравнение и посмотрите, окажется ли оно равным нулю, но, конечно, более разумный способ — использовать алгебру для определения единственного значения, которое может работать, что вы и сделали. Вы нашли это

Если вам не ясно, как это показывает, что круговое движение является возможным решением, я бы предложил подключить

в дифференциальное уравнение и проверив для себя, что левая часть действительно упрощается до нуля, когда вы делаете это.

Теперь к части о возмущении. Забудьте на мгновение о конусе и подумайте о мяче, катящемся по дну какой-нибудь долины (канавы, канала или трубы). Один из способов, которым это может произойти, конечно, состоит в том, что мяч катится прямо по центру. Но еще одно допустимое движение заключается в том, что мяч немного смещен от центра и слегка перемещается из стороны в сторону, когда катится, описывая некий колебательный узор с центром на дне долины.

Это обычная модель для любой физической системы, находящейся в устойчивом равновесии с центром в некоторой координате.$x_c$: в то время как одно допустимое движение просто застревает на$x_c$, другим допустимым движением является небольшое колебание вокруг$x_c$. Поэтому вместо решения$x(t)$напрямую, вы меняете переменные на$\delta(t) = x(t) - x_c$, часто проще решить для$\delta(t)$чем это для$x(t)$, потому что ты знаешь, что$\delta(t)$сосредоточен вокруг нуля и, следовательно, мал, и когда вы пишете свои формулы в терминах$\delta$вместо$x$вы можете разложить их в ряды Тейлора и отбросить все, кроме самых больших нетривиальных членов.

В вашем случае вы делаете это с$z(t) = z_c + \eta(t)$, вместо$x(t) = x_c + \delta(t)$. Различные имена (и значения) для переменных, но процедура та же самая. Вы меняете переменные из$z$к$\eta$. Затем вы можете расширить ряд Тейлора в$\eta$и оставить только нетривиальные члены самого низкого порядка в$\eta$. Обратите внимание, что я говорю нетривиальный , потому что вы должны сохранить некоторые термины, которые на самом деле включают$\eta$для того, чтобы решить для него. Обычно это означает поддержание порядка$\eta^1$, но в некоторых случаях есть причина сохранить и члены более высокого порядка — скажем, если все$O(\eta^1)$термины сокращаются, или если вы хотите лучшее приближение.

Каждый раз, когда вы что-то линеаризуете (что вы и делаете с$z = z_c + \eta$), вы подставляете постоянное значение$z_c$и возмущение$\eta$. Постоянная$z_c$не зависит от времени, в то время как$\eta$является функцией времени. Кроме того, среднее время$\eta$равно 0, потому что$z_c$определяется как среднее значение$z$во время.

Итак, с учетом этого, когда вы подключитесь к основному уравнению, вы получите функцию, которая имеет$\ddot{\eta}$в этом. Это основное уравнение для возмущения$\eta$о$z_c$.

Это основное уравнение, которое вам нужно использовать, чтобы найти период движения.