Доказательство калибровочно-инвариантного оператора импульса

Калибровочно-инвариантный оператор импульса называется п ~ "=" п − д ∇ Λ ( р ) , где р является оператором положения и Λ ( р ) является реальной функцией.

Данное унитарное преобразование есть U "=" е я д Λ ( р ) / ℏ . Итак, чтобы показать форму п ~ Мне нужно рассчитать:

п ~ "=" U п U † "=" е я д Λ ( р ) / ℏ п е − я д Λ ( р ) / ℏ .

Я думаю, что могу продолжить, используя разложение Тейлора U , так:

п ~ "=" ( 1 + я ℏ д Λ ( р ) + … ) п ( 1 − я ℏ д Λ ( р ) + … ) "=" п − я ℏ д п Λ ( р ) + я ℏ д Λ ( р ) п + д 2 ℏ 2 Λ ( р ) п Λ ( р ) + … ≈ п − я ℏ д п Λ ( р ) + я ℏ д Λ ( р ) п ,

где в последнем приближении я использовал, что д ≪ 1 . Если я представлю п "=" − я ℏ ∇ на последнем шаге я получаю желаемую форму п ~ от первых двух членов, но последний член является дополнительным и эквивалентен Λ ( р ) ∇ .

Почему я получаю этот дополнительный термин? Может быть, я просто не следую правильной процедуре. Какие-либо предложения?

Ответы (2)

Если Λ является функцией оператора положения, вы не можете просто рассматривать Λ как скалярная функция. На самом деле то, что вы получаете, п ~ "=" п − я д [ п , Λ ( р ) ] .

Для аналитических функций вы всегда можете расширить Λ как степенной ряд в р и вычислить коммутатор с п для каждой мощности р используя канонические коммутационные соотношения и правило произведения для операторов. Вы получите [ п , Λ ( р ) ] "=" − я Λ ′ ( р ) . Используя это, вы получите результат, который вы искали.

Для коммутаторов, включающих функции операторов, см., например, здесь physics.stackexchange.com/q/98372 .
Это имеет смысл для меня. Но я думаю, что пригородный должен быть [ п , Λ ( р ) ] "=" − я ℏ ∇ Λ ( р ) ? с соответствующим ℏ от п "=" − я ℏ ∇ .
Да! это то, что я написал. имею привычку ставить ℏ "=" 1 . Письмо Λ ′ вместо ∇ Λ это просто условность :-)

Вы должны помнить, что эти операторы действуют на волновые функции:

U п U + ψ "=" п ψ − я ℏ п ( д Λ ψ ) + я ℏ д Λ п ψ
на первый заказ в д Λ . Обратите внимание, что во втором слагаемом в правой части п действует на Λ ψ и не только на Λ . Используя тот факт, что
п ( Λ ψ ) "=" ( п Λ ) ψ + Λ ψ
Таким образом, последний член первого уравнения сокращается последним членом второго соотношения. Следует, что
U п U + ψ "=" п ψ − я д ℏ ( п Λ ) ψ "=" п ψ + д ( ∇ Λ ) ψ

Конечно! Я не знаю, как я забыл, учитывая, что фактическое определение преобразования оператора таково: < ψ ′ | п ~ | ψ ′ >=< ψ | п | ψ > . Так что это правда, что действие на государственный кет должно быть рассмотрено. Используя этот факт, я получаю несколько отличный от вашего результат со знаком минус в преобразовании, как это предлагается задачей.
Доказательство калибровочно-инвариантного оператора импульса
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v