Расчетный метод

Ряд Тейлора функции$d$переменные выглядит следующим образом:

$$f(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = \sum_{n_1=0}^{\infty}\ldots\sum_{n_d=0}^{\infty} \frac{(y_1-x_1)^{n_1} \ldots (y_d - x_d)^{n_d}}{n_1!\ldots n_d!} \left. \left( \partial_1^{n_1}\ldots \partial_d^{n_d} \right) f \right|_{\mathbf{x}}.$$

где$\partial_i^{n_i} f$означает "$n_i^{\text{th}}$частная производная порядка$f$с уважением к$i^{\text{th}}$координаты». Рассмотрим только те члены, где$\sum_{i=1}^{\infty} n_i = 1$. Это термины, для которых берется только одна производная, также известные как «линейные термины». Сохранение$0^{\text{th}}$срок порядка и линейные условия дает

$$f(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = f(\mathbf{x})+\sum_{i=1}^{d}(y_i - x_i) \left. (\partial_i f \right)|_{\mathbf{x}} . \qquad (*)$$

Задайте смещение$\epsilon = \mathbf{y} - \mathbf{x}$. Затем

$$\epsilon \cdot \nabla = \sum_{i=1}^d (y_i - x_i) \partial_i$$

по определению чего$\cdot$означает. Поэтому, придерживаясь только линейных членов,$(*)$становится

$$f(\mathbf{y} - \mathbf{x}) = f(\mathbf{x}) + \left. (\epsilon \cdot \nabla)\right|_{\mathbf{x}}f .$$

Итак, вы видите, ваша формула верна, просто в определенных обозначениях, к которым вы, возможно, не привыкли.

Алгебраический метод

Чтобы не печатать меньше, я объясню это в одном измерении, но в реальных расчетах ничто не ограничивается одним измерением.

Вектор состояния можно рассматривать как линейную комбинацию собственных векторов оператора положения

$$|\Psi\rangle = \int_x \Psi(x) |x\rangle \qquad (1)$$

где$\hat{x}|x\rangle = x|x\rangle$. Бюстгальтер$\langle y |$слева и используя$\langle y | x \rangle = \delta(x-y)$в (1) дает

$$\langle y | \Psi \rangle = \Psi(y) . \qquad (2)$$

Объединение (1) и (2) дает

$$|\Psi\rangle = \int_x |x\rangle \langle x| \Psi \rangle \qquad (3)$$

что показывает, что$\int_x |x\rangle \langle x | = \text{Identity}$. Давайте действительно поймем, что все это означает: уравнение. (1) просто говорит, что вы можете записать вектор как линейную комбинацию базисных векторов. В этом случае,$\Psi(x)$– коэффициенты линейной комбинации. Другими словами, волновая функция — это просто коэффициенты линейного комбинационного разложения, записанные в позиционном базисе. уравнение (2) делает это явным, показывая, что внутренний продукт базисного вектора положения$|y\rangle$с$|\Psi\rangle$именно$\Psi(y)$. уравнение (3) просто выражает аккуратный способ выражения тождественного оператора, который мы сочтем очень полезным. Обратите внимание, что это работает с любым базисом. Например,

$$\int_p |p\rangle \langle p | = \text{identity} .$$

Мы можем использовать это, чтобы выразить собственный вектор положения в терминах собственных векторов импульса,

$$|x\rangle = \int_p |p\rangle \langle p | x \rangle = \int_p e^{-i x p/\hbar}|p\rangle ,$$ где мы использовали тот факт, что $\langle x | p \rangle = e^{i p x/\hbar}$[1].

Теперь вернемся к заданному вопросу. Определять$|\Psi'\rangle \equiv e^{i \epsilon \hat{p}/\hbar}|\Psi\rangle$. Давайте оценим$\Psi'(y) \equiv \langle y|\Psi'\rangle$:

$$\begin{align} \Psi'(y) &= \langle y | \Psi' \rangle \\ &= \langle y| e^{i \epsilon \hat{p}/\hbar} |\Psi \rangle \\ &= \langle y| e^{i \epsilon \hat{p}/\hbar} \int_x \Psi(x) |x\rangle \\ &= \int_x \Psi(x) \langle y | e^{i \epsilon \hat{p}/\hbar} |x \rangle . \end{align}$$

Для продолжения нам нужно вычислить$e^{i \epsilon \hat{p}/\hbar} |x \rangle$. Мы можем сделать это, используя наше выражение для тождества в терминах импульсных состояний,

$$\begin{align} e^{i \epsilon \hat{p}/\hbar} |x \rangle &= e^{i \epsilon \hat{p}/\hbar} \left( \int_p |p\rangle \langle p | \right) | x \rangle \\ &= \int_p e^{i \epsilon \hat{p} / \hbar} |p\rangle \langle p | x \rangle \\ &= \int_p e^{i \epsilon p / \hbar} |p\rangle \langle p | x \rangle \\ &= \int_p e^{i \epsilon p /\hbar} |p\rangle e^{-i p x/\hbar}\\ &= \int_p e^{-i(x - \epsilon) p / \hbar} |p\rangle \\ &= |x - \epsilon \rangle \end{align}$$

На самом деле это то, что вы должны помнить об этом вопросе:

$$e^{i\epsilon\hat{p}/\hbar}|x\rangle = |x - \epsilon \rangle .$$

Это отличное уравнение, потому что оно говорит вам кое-что о том, как$e^{i \epsilon \hat{p} /\hbar}$оператор изменяет собственный вектор позиции, не записывая его в конкретный базис.

Теперь, когда у нас есть это, мы можем вернуться к тому, что мы пытались вычислить,

$$\begin{align} \Psi'(x) &= \int_x \Psi(x) \langle y | e^{i \epsilon \hat{p}/\hbar} |x \rangle \\ &= \int_x \Psi(x) \langle y | x - \epsilon \rangle \\ &= \int_x \Psi(x) \delta(y - (x - \epsilon)) \\ &= \Psi(y + \epsilon) . \end{align}$$

Это уравнение вы хотели доказать. Если я перепутал какие-либо знаки минуса, я надеюсь, что кто-то отредактирует :)

[1] Я не доказываю это, и если вы хотите знать, почему это правда, это хороший вопрос на этом сайте.