Оператор импульса в представлении позиции и наоборот

Question

Оператор импульса в представлении позиции и наоборот

Эрнестако

Так что я подумал, что

\hat{п} "=" - я ℏ \frac{\partial}{\partial Икс}

$\hat{p}~=~-i\hbar \frac{\partial}{\partial x}~$

и

\hat{Икс} "=" я ℏ \frac{\partial}{\partial п}

$\hat{x}~=~i\hbar \frac{\partial}{\partial p}~$

но я только что столкнулся со следующей проблемой:

«Найдите волновую функцию для основного состояния

ЧАС "=" \frac{п^{2}}{2 м} + \frac{1}{2} м ю^{2} {Икс}^{2}

$H = \frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2x^2$

в позиционной базе».

Итак, они просят меня: $\psi_0(x)= ⟨x|0⟩$

Я сделал следующее: я хотел применить условие:

а | 0 ⟩ "=" 0

$a|0⟩ = 0$

С $a$ существование:

а "=" \sqrt{\frac{м ю}{2 ℏ}} (Икс + я п)

$a=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}(x+ip)$

я так понял с тех пор

\hat{Икс} | Икс ⟩ "=" Икс | Икс ⟩

$\hat{x}|x⟩=x|x⟩$

и

\hat{п} | Икс ⟩ "=" - я ℏ \frac{\partial}{\partial Икс} | Икс ⟩

$\hat{p}|x⟩=-i\hbar \frac{\partial}{\partial x}|x⟩$

Я мог бы просто подставить их в уравнение для a и получить:

\sqrt{\frac{м ю}{2 ℏ}} (Икс + ℏ \frac{\partial}{\partial Икс}) ψ_{0} "=" 0

$\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}} \bigg( x+\hbar \frac{\partial}{\partial x} \bigg) \psi_0 = 0$

Что привело меня к:

\frac{г ψ_{0}}{ψ_{0}} "=" - \frac{Икс}{ℏ} г Икс

$\frac{d\psi_0}{\psi_0}=-\frac{x}{\hbar}dx$

Но проверив ответы, они заявили, что:

\hat{п} | Икс ⟩ "=" \frac{- я ℏ}{\sqrt{м ю ℏ}} \frac{\partial}{\partial Икс} | Икс ⟩

$\hat{p}|x⟩=\frac{-i\hbar}{\sqrt{m\omega\hbar}} \frac{\partial}{\partial x}|x⟩$

И я не понимаю, при чем тут квадратный корень, $-i\hbar$ исходит из.

Гектор

Каково значение

⟨ x | \hat{x} ⟩ = x

$⟨x|\hat{x}⟩=x$ ?

Биофизик

@Hector Они означают, что оператор позиции в основе позиции - это просто x.

\hat{x} ψ = x ψ

$\hat x \psi=x\psi$

Гектор

@AaronStevens Нет, «оператор положения в базисе положения — это просто x» записывается так:

\hat{x} | x ⟩ = x | x ⟩

$\hat x |x ⟩ = x | x ⟩$ .

Биофизик

@ Гектор, я просто говорил тебе, что, по моему мнению, имел в виду ОП.

Биофизик

Я думаю, вы могли бы технически умножить оператор импульса на некоторую реальную константу, пока вы делите свой оператор положения на ту же самую константу, так что отношение

[\hat{x}, \hat{p}] = i ℏ

$[\hat x,\hat p]=i\hbar$ все еще держит. Хотя я могу ошибаться.

Гектор

@AaronStevens, мой плохой, я думал, что ты ОП. Я извиняюсь перед тобой.

Биофизик

@ Гектор Технически вы бы сказали

⟨ x | \hat{X} | ψ ⟩ = x ψ (x)

$\langle x| \hat X |\psi \rangle = x\psi(x)$ для любого генерала

| ψ ⟩

$|\psi \rangle$

Гектор

@АаронСтивенс

⟨ x | \hat{X} | ψ ⟩ = x ψ (x) = x ⟨ x | ψ ⟩

$⟨x|\hat X|ψ⟩=xψ(x)=x ⟨x|ψ⟩$ Фактор

| ψ ⟩

$|ψ⟩$ вне:

⟨ x | \hat{X} = x ⟨ x |

$⟨x|\hat X=x ⟨x|$ . Затем используйте тот факт, что

\hat{X}

$\hat X$ является эрмитовым. Ваше утверждение и мое эквивалентны.

ZeroTheHero

Согласитесь с @Hector здесь: обозначения абсолютно нуждаются в разъяснении.

Биофизик

@ Гектор Да, теперь я понимаю. Проблема в том, что они поместили оператора в кет. Что технически не самое худшее, если нотация правильно определена, но лично я бы не советовал этого делать.

Эрнестако

@Hector Извините за обозначения. К

⟨ x | \hat{x} ⟩

$⟨x|\hat{x}⟩$ Я имел в виду позиционного оператора в позиционном базисе, а под

⟨ x | \hat{p} ⟩

$⟨x|\hat{p}⟩$ оператор импульса в позиционном базисе. Теперь я понимаю, что вместо этого я должен использовать обозначение, которое вы предложили

Гектор

@Ernestako Хорошо, следующий шаг — проверить единицы измерения (как в Phys101). Обратите внимание, что когда

\hat{p} \sim ℏ \frac{\partial}{\partial x}

$\hat p \sim \hbar \frac{\partial}{\partial x}$ действует на волновую функцию, она дает величину, единицы которой являются единицами волновой функции, умноженной на единицы импульса (как и ожидалось). Как вы можете добавить

x

$x$ (единицы положения) и

ℏ \frac{\partial}{\partial x}

$\hbar \frac{\partial}{\partial x}$ (единицы импульса) в вашем выражении для

a

$a$ ? После того, как вы это исправите, вы будете ближе к ответу.

Ответы (2)

Оператор импульса в представлении позиции и наоборот

@Hector Они означают, что оператор позиции в основе позиции - это просто x. $\hat x \psi=x\psi$
@AaronStevens Нет, «оператор положения в базисе положения — это просто x» записывается так: $\hat x |x ⟩ = x | x ⟩$ .
@ Гектор, я просто говорил тебе, что, по моему мнению, имел в виду ОП.
Я думаю, вы могли бы технически умножить оператор импульса на некоторую реальную константу, пока вы делите свой оператор положения на ту же самую константу, так что отношение $[\hat x,\hat p]=i\hbar$ все еще держит. Хотя я могу ошибаться.
@AaronStevens, мой плохой, я думал, что ты ОП. Я извиняюсь перед тобой.
@ Гектор Технически вы бы сказали $\langle x| \hat X |\psi \rangle = x\psi(x)$ для любого генерала $|\psi \rangle$
@АаронСтивенс $⟨x|\hat X|ψ⟩=xψ(x)=x ⟨x|ψ⟩$ Фактор $|ψ⟩$ вне: $⟨x|\hat X=x ⟨x|$ . Затем используйте тот факт, что $\hat X$ является эрмитовым. Ваше утверждение и мое эквивалентны.
Согласитесь с @Hector здесь: обозначения абсолютно нуждаются в разъяснении.
@ Гектор Да, теперь я понимаю. Проблема в том, что они поместили оператора в кет. Что технически не самое худшее, если нотация правильно определена, но лично я бы не советовал этого делать.
@Hector Извините за обозначения. К $⟨x|\hat{x}⟩$ Я имел в виду позиционного оператора в позиционном базисе, а под $⟨x|\hat{p}⟩$ оператор импульса в позиционном базисе. Теперь я понимаю, что вместо этого я должен использовать обозначение, которое вы предложили
@Ernestako Хорошо, следующий шаг — проверить единицы измерения (как в Phys101). Обратите внимание, что когда $\hat p \sim \hbar \frac{\partial}{\partial x}$ действует на волновую функцию, она дает величину, единицы которой являются единицами волновой функции, умноженной на единицы импульса (как и ожидалось). Как вы можете добавить $x$ (единицы положения) и $\hbar \frac{\partial}{\partial x}$ (единицы импульса) в вашем выражении для $a$ ? После того, как вы это исправите, вы будете ближе к ответу.

К. Рейндерсон · Answer 1

Я думаю, что это проблема между разными обозначениями. Во-первых, у вас действительно есть $\widehat{x} \left | \Psi \right > = x\left | \Psi \right >$ и $\widehat{p} \left | \Psi \right > = -i\hbar\frac{\partial\left | \Psi \right >}{\partial x}$ . Но оператор уничтожения $\widehat{a}$ равно $\frac{\widehat{X}+i\widehat{P}}{\sqrt{2}}$ где $\widehat{X}$ и $\widehat{P}$ являются безразмерными операторами.

А бывает, что у вас: $\widehat{X}=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}\widehat{x}$ и $\widehat{P} = \frac{\widehat{p}}{\sqrt{m\hbar \omega}}$ Отсюда и написанное в ответе выражение, где $\widehat{p}$ следует интерпретировать как $\widehat{P}$ Наверное.

И кстати, если вы используете эти выражения, вы обнаружите, что $\widehat{a}=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left (\widehat{x}+\frac{i\widehat{p}}{m\omega} \right )$

Манвендра Сомванши · Answer 2

Ваш оператор уничтожения неверен. Это,

а "=" (\sqrt{\frac{м ю}{2}} Икс + я \frac{п}{\sqrt{2 м ю}})

$a= (\sqrt{\frac{m\omega}{2}}x + i\frac{p}{\sqrt{2m\omega}})$ Найти

⟨ x^{'} | 0 ⟩

$\langle{x'}|0⟩$ вам просто нужно решить это уравнение:

⟨ {Икс}^{'} | а | 0 ⟩ "=" 0

$\langle{x'}|a|0⟩=0$

⟨ {Икс}^{'} | (\sqrt{\frac{м ю}{2}} Икс + я \frac{п}{\sqrt{2 м ю}}) | 0 ⟩ "=" 0

$\langle{x'}|(\sqrt{\frac{m\omega}{2}}x + i\frac{p}{\sqrt{2m\omega}})|0⟩=0$ С

p = - i \partial_{x^{'}}

$p=-i\partial_{x'}$ ,

\sqrt{\frac{м ю}{2}} {Икс}^{'} ⟨ {Икс}^{'} | 0 ⟩ + \frac{\partial_{{Икс}^{'}} ⟨ {Икс}^{'} | 0 ⟩}{\sqrt{2 м ю}} "=" 0

$\sqrt{\frac{m\omega}{2}}x'\langle{x'}|0⟩+\frac{\partial_{x'}\langle{x'}|0⟩}{\sqrt{2m\omega}}=0$ Решив это дифференциальное уравнение, вы получите

ψ_{0} (x^{'})

$\psi_0(x')$ . Для расчета любого

ψ_{n} (x^{'})

$\psi_n(x')$ просто примените оператор создания n раз к

| 0 ⟩

$|0⟩$ и возьмем внутренний продукт

⟨ x^{'} | n ⟩

$⟨x'|n⟩$ .

Примечание: я использовал $\hbar =1$ .

Оператор импульса в представлении позиции и наоборот

Эрнестако

Гектор

Биофизик

Гектор

Биофизик

Биофизик

Гектор

Биофизик

Гектор

ZeroTheHero

Биофизик

Эрнестако

Гектор

Ответы (2)

К. Рейндерсон

Манвендра Сомванши

Вопросы о формализме скобок и гармоническом осцилляторе

Эрмитово сопряжение дифференциального оператора

⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\шляпа{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle для всех |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle означает, что A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ Б}?

Квантовая теория поля для одаренного любителя: задача 2.4

Ожидаемые значения операторов LxLxL_x и LyLyL_y в собственных состояниях LzLzL_z

Обозначение и производная Bra Ket [дубликат]

Существует ли функция, интегрируемая с квадратом и не стремящаяся к нулю на бесконечности, но принадлежащая области определения оператора импульса?

Ожидание импульса в связанном состоянии

Проблемы с пониманием упражнения Нильсена и Чуанга

Коммутатор положения и импульса