Инвариантно ли собственное значение гамильтониана относительно линейного преобразования оператора импульса?

Это дано

Динамика частицы, движущейся одномерно в потенциале V(x), определяется гамильтонианом ЧАС 0 "=" п 2 / 2 м + В ( Икс ) , где п "=" − я ℏ г / г Икс является оператором импульса. Позволять Е н ( 0 ) , н "=" 1 , 2 , 3... быть собственными значениями ЧАС 0 . Теперь рассмотрим новый гамильтониан ЧАС "=" ЧАС 0 + λ п / м , где λ является заданным параметром. Данный λ , м и Е н ( 0 ) , найти собственные значения H.

Теперь решение было удобно дано, где ЧАС был преобразован в форму п ′ "=" п + λ такой, что

ЧАС "=" ( п + λ ) 2 / 2 м + В ( Икс ) − λ 2 / 2 м

Где еще один гамильтониан ЧАС ′ был определен так, что

ЧАС ′ "=" п ′ 2 / 2 м + В ( Икс )

Но он говорит, что собственные значения ЧАС ′ такие же, как у ЧАС 0 , т.е. Е н ( 0 ) , н "=" 1 , 2 , 3...

Таким образом, ЧАС + λ 2 / 2 м "=" ЧАС ′ и

( ЧАС + λ 2 / 2 м ) ψ "=" ЧАС ′ ψ

ЧАС ψ + ( λ 2 / 2 м ) ψ "=" Е н ( 0 ) ψ

ЧАС ψ "=" [ Е н ( 0 ) − λ 2 / 2 м ] ψ

Следовательно, собственные значения ЧАС являются,

Е н ( 0 ) − λ 2 / 2 м , н "=" 1 , 2 , 3...

Но почему собственные значения остаются инвариантными при таком преобразовании оператора импульса? Я искал оператор перевода и узнал, что гамильтониан и перевод коммутируют, но оператор перевода линейно изменяется Икс , нет п .

Кроме того, можно ли объяснить это без использования оператора перевода?

Ответы (2)

Это потому что ЧАС ′ "=" U ЧАС U − 1 для некоторого унитарного оператора U , поэтому ψ является собственным вектором ЧАС с собственным значением, если и только если U ψ является собственным вектором ЧАС ′ с тем же собственным значением. Таким образом, два оператора имеют один и тот же точечный спектр. U "=" е я λ Икс / ℏ .

От [ Икс , п ] "=" я ℏ я один находит

е − я λ Икс / ℏ п е я λ Икс / ℏ "=" п + λ я .
С другой стороны
е − я λ Икс / ℏ В ( Икс ) е я λ Икс / ℏ "=" В ( Икс )
Как следствие (с ℏ "=" 1 )
U ЧАС U − 1 "=" U ( 1 2 м п 2 + В ( Икс ) ) U − 1 "=" 1 2 м U п U − 1 U п U − 1 + U В ( Икс ) U − 1 "=" 1 2 м ( п + λ я ) 2 + В ( Икс ) "=" ЧАС ′ .

Я провел расчет преобразования, данный U "=" е я λ Икс / ℏ но не удалось преобразовать ЧАС ′ , можно поподробнее?
@VladeKR готово! (Я также исправил знак в показателе степени)
Это дано е А Б е − А "=" Б + [ А , Б ] + 1 2 ! [ А , [ А , Б ] ] + . . . где, Б "=" п и А "=" я λ Икс / ℏ Следовательно, преобразование п является п + [ я λ Икс / ℏ , п ] + 1 2 ! [ я λ Икс / ℏ , [ я λ Икс / ℏ , п ] ] . . . но потому что [ я λ Икс / ℏ , п ] "=" я λ / [ ¯ Икс , п ] "=" − λ таким образом, дальнейшие коммутационные соотношения дадут нуль.
Вы хотите сказать, что первоначальный знак был правильным? (В показателе я имею в виду)
О, я даже не осознавал этого... Я просто работал над трансформацией, потому что последовательность трансформаций не была мне сразу очевидна.
Хорошо, я снова исправил знак. Ваше доказательство формально верно (на самом деле истинное доказательство отличается, потому что вы не можете расширить таким образом экспоненты неограниченных операторов, таких как Икс и п , но это другой класс задач, не беспокойтесь на данном этапе ваших знаний...)

Из уравнения ЧАС является линейной функцией ЧАС 0 . В этом случае собственные значения ЧАС 0 являются собственными значениями ЧАС также. Поэтому собственные значения остаются инвариантными при таком преобразовании.

Инвариантно ли собственное значение гамильтониана относительно линейного преобразования оператора импульса?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v