Эрмитово сопряженное дифференциального оператора

Я наткнулся на это уравнение (тождество) (уравнение 4 в этой статье ):

∫ ( − я г ψ / г Икс ) * ψ г Икс "=" ∫ ψ * ( − я г ψ / г Икс ) г Икс + я г ( ψ * ψ ) / г Икс ∣ − ∞ + ∞

Мне трудно это доказать. Я пытался использовать интегрирование по частям, но не смог туда добраться. Как взять комплексно сопряженное (эрмитово сопряженное) дифференциального оператора, входящего в это уравнение, а также любой общей функции.

Ответы (1)

Заметить, что

я г ( ψ * ψ ) г Икс "=" г [ ( − я ψ ) * ψ ] г Икс "=" г ( − я ψ ) * г Икс ψ + ( − я ψ ) * г ψ г Икс "=" ( − я г ψ г Икс ) * ψ + ψ * ( я г ψ г Икс )
Теперь вычтите второй член справа с обеих сторон, чтобы получить
ψ * ( − я г ψ г Икс ) + я г ( ψ * ψ ) г Икс "=" ( − я г ψ г Икс ) * ψ
и, наконец, интегрировать обе стороны из − ∞ к ∞ чтобы получить (как указал Стэн Лиу в комментариях)
∫ − ∞ ∞ ψ * ( − я г ψ г Икс ) + я ψ * ψ | − ∞ ∞ "=" ∫ − ∞ ∞ ( − я г ψ г Икс ) * ψ
Обратите внимание, что граничный член, который вы вписали в тождество, имеет ошибочную производную, которая исчезает, когда вы фактически вычисляете интеграл и используете фундаментальную теорему исчисления.

Вы правы, за исключением того, что это не желаемая личность, потому что желаемая личность просто ложна. Подозреваю опечатку в статье.
@StanLiou Хм правда? Может знака не хватает? Я не вижу, где ошибка.
При интеграции вы получаете я ( ψ * ψ ) ∣ − ∞ + ∞ срок, а не я г ( ψ * ψ ) / г Икс ∣ − ∞ + ∞ как у ОП.
О Конечно. Спасибо что подметил это! Каким-то образом я продолжал видеть правильный граничный термин, хотя смотрел на него несколько минут. Спасибо, Стэн.
Это не похоже на опечатку в статье, поскольку автор прямо упоминает о производной плотности ( ψ * ψ ) в строке, следующей за уравнением. Начиная с LHS (а не наоборот ), как нам получить RHS?
@DurgaDatta Мне кажется ошибкой. Даже с точки зрения размерности граничный член не имеет смысла с производной в нем.
@DurgaDatta Идентификация просто неверна, и ее легко исправить. На самом деле автор вообще не ссылается на неправильную версию ни в одном из следующих пунктов — он говорит, что «продукт ψ * ψ "=" р " обращается в нуль на границе в бесконечности, что на самом деле необходимо для эрмитовости. Он говорит, что в дополнение к этому обращаются в нуль производные, что могло создать у вас такое впечатление. Следующее утверждение относительно неисчезающего остатка в 3D неоднозначно относительно того, какая версия личности, которую он имеет в виду. Поэтому он явно не использует я г ( ψ * ψ ) / г Икс ∣ − ∞ + ∞ в любом месте.
Точная цитата: «Продукт ψ * ψ "=" р , а плотность вместе с ее производными обращаются в нуль на бесконечно удаленных границах, но не тогда, когда граница имеет конечное значение. ..." Что кажется плохо сформулированным, но он утверждает, что р * р среди вещей, которые исчезают на границе в бесконечности, ясно. Так что его последующие выводы точно так же следуют из исправленной версии.
Есть ли альтернативный способ доказать уравнение (исправленное), начав с LHS. Я хочу знать, как можно подумать, когда он увидит LHS (впервые), и хочу мысленно сравнить это с его эквивалентной формой RHS.
@DurgaDatta После удаления дополнительной производной (поскольку она несовместима по размерным причинам, как сказал Джош), формула представляет собой просто частный случай интегрирования по частям с некоторыми я вкраплены, чьи сопряжения меняют некоторые знаки. Таким образом, вы можете доказать это по формуле IbP, не перемещая никакие термины по сторонам. Но IbP сам по себе является просто перестановкой интеграла правила Лейбница для дифференцирования, так что на самом деле вы все равно будете делать то же самое, что и этот ответ.
Эрмитово сопряженное дифференциального оператора
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v