Доказательство коммутационного соотношения [H^,a^]=−ℏωa^[H^,a^]=−ℏωa^[\hat{H},\hat{a}] = - \hbar \omega \hat{a}

Я знаю, как вывести приведенные ниже уравнения, найденные в Википедии , и сделал это сам:

$$\begin{align} \hat{H} &= \hbar \omega \left(\hat{a}^\dagger\hat{a} + \frac{1}{2}\right)\\ \hat{H} &= \hbar \omega \left(\hat{a}\hat{a}^\dagger - \frac{1}{2}\right)\\ \end{align}$$

где$\hat{a}=\tfrac{1}{\sqrt{2}} \left(\hat{P} - i \hat{X}\right)$является оператором уничтожения и$\hat{a}^\dagger=\tfrac{1}{\sqrt{2}} \left(\hat{P} + i \hat{X}\right)$оператор создания. Напишу еще что:

$$\begin{align} \hat{P}&= \frac{1}{p_0}\hat{p} = -\frac{i\hbar}{\sqrt{\hbar m \omega}} \frac{d}{dx}\\ \hat{X}&=\frac{1}{x_0} \hat{x}=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x \end{align}$$

Чтобы продолжить, мне нужно доказательство того, что операторы$\hat{a}$и$\hat{a}^\dagger$дать следующий коммутатор с гамильтонианом$\hat{H}$:

$$\begin{align} \left[\hat{H},\hat{a} \right] &= -\hbar\omega \, \hat{a}\\ \left[\hat{H},\hat{a}^\dagger \right] &= +\hbar\omega \, \hat{a}^\dagger \end{align}$$

Эти утверждения можно найти как в википедии, так и здесь , но нигде не доказано, что приведенные выше соотношения для коммутатора действительно выполняются. я пытался вывести$\left[\hat{H},\hat{a} \right]$и мой результат был:

$$\left[\hat{H},\hat{a} \right] \psi = -i \sqrt{\frac{\omega \hbar^3}{4m}}\psi$$

Вы должны знать, что это третий коммутатор, который я когда-либо рассчитывал, поэтому он, вероятно, неверен, но вот фотография моей попытки на бумаге. Я был бы признателен, если бы у кого-нибудь была ссылка на доказательство коммутационных соотношений (подойдет один) или он мог бы опубликовать доказательство здесь.