Квантовый коммутатор

Мне дан этот коммутатор:

[ п Икс п , п ]
Существование п ψ "=" − я ℏ ∂ Икс ψ , и Икс ψ "=" Икс ψ

Я решил это двумя способами, первый - просто применить коммутатор к некоторой функции ψ и посмотреть, что я получаю. Мой окончательный результат:

[ п Икс п , п ] "=" − я ℏ 3 ∂ Икс Икс
Второй использует некоторые свойства коммутатора:
[ п Икс п , п ] "=" − [ п , п Икс п ] "=" − ( п [ п , Икс п ] + [ п , п ] Икс п )
[ п , п ] "=" 0 , так что второй член уходит. Я снова расширяю первый член:
− п [ п , Икс п ] "=" − п ( Икс [ п , п ] + [ п , Икс ] п ) "=" − п [ п , Икс ] п "=" я ℏ п 2 "=" − я ℏ 3 ∂ Икс Икс

Я снова получаю тот же результат. Когда учитель решил это в классе, окончательный результат был таким:

[ п Икс п , п ] "=" 2 я ℏ п 2
понятия не имею где это 2 происходит от. Я что-то пропустил? Я делаю что-то неправильно?

Ответы (3)

Ваш учитель, похоже, ошибся. Я предполагаю, что он/она сделал что-то вроде этого:

[ п Икс п , п ] "=" п [ Икс п , п ] + [ п Икс , п ] п "=" п ( Икс [ п , п ] + [ Икс , п ] п ) + ( п [ Икс , п ] + [ п , п ] Икс ) п "=" п [ Икс , п ] п + п [ Икс , п ] п "=" 2 я ℏ п 2
Обратите внимание, что первое равенство неверно. Нельзя отслаивать операторов влево и вправо, если в первом слоте коммутатора три оператора!

+1 Вывод @MyUserIsThis был, очевидно, правильным, но я не мог понять, какая ошибка могла привести к 2 . В качестве дополнительной проверки для OP, используя [ А Б , С ] "=" А [ Б , С ] + [ А , С ] Б по-видимому, это личность, которую пытался использовать учитель, и если применить ее дважды, это даст [ п Икс п , п ] "=" п [ Икс п , п ] + [ п , п ] Икс п "=" п Икс [ п , п ] + п [ Икс , п ] п "=" я ℏ п 2 .

Я думаю ты прав. Используя очень простую математику коммутатора. Все, что вам нужно, это:

[ А Б , С ] "=" А [ Б , С ] + [ А , С ] Б
Тогда в вашем случае:
А "=" п
Б "=" Икс п
С "=" п
[ п Икс п , п ] "=" п Икс [ п , п ] + [ п , п ] Икс п "=" п Икс [ п , п ] + п [ Икс , п ] п + [ п , п ] Икс п
Как вы сказали, [P, P] антисимметричен сам себе, и поэтому мы можем удалить все члены [p, p]. Тогда мы оставили только одно слагаемое:
[ п Икс п , п ] "=" п [ Икс , п ] п
и, как вы знаете (мы определили операторы, чтобы они это делали)
[ Икс , п ] "=" я ℏ

Итак, мы можем написать:

п ( я ℏ ) п
. Мы можем выдвинуть скаляр так:
[ п Икс п , п ] "=" я ℏ п 2

Я не могу найти ничего плохого ни в одном из своих шагов, поэтому я уверен, что 2 там быть не должно.

Оба ответа верны, но вы можете сделать это без правил, хотя они являются основными.

[ п Икс п , п ] "=" п Икс п 2 − п 2 Икс п

[ Икс п 2 − п 2 Икс ] п

[ Икс г 2 г Икс 2 ψ − г 2 г Икс 2 ( Икс ψ ) ] п

[ Икс г 2 г Икс 2 ψ − [ г г Икс ( ψ + ψ ′ Икс ) ] ] п

[ ( − я час ) 2 [ Икс г 2 г Икс 2 ψ − [ ( 2 ψ ′ + ψ ″ Икс ) ] ] ] п

[ ( − я час ) 2 ( − 2 ψ ′ ) ] п

[ ( − я час ) ( − я час ) ( − 2 ψ ′ ) ] п

[ 2 я час ( − я час ) ( ψ ′ ) ] п

Ты должен знать

( − я час ) ( ψ ′ ) "=" п

так [ Икс п 2 − п 2 Икс ] "=" 2 я час п

Так [ Икс п 2 − п 2 Икс ] п "=" 2 я час п 2

Квантовый коммутатор
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v