Докажите, что [A,Bn]=nBn−1[A,B][A,Bn]=nBn−1[A,B][A,B^n] = nB^{n-1}[A,B]

Question

Докажите, что [A,Bn]=nBn−1[A,B][A,Bn]=nBn−1[A,B][A,B^n] = nB^{n-1}[A,B]

пользователь28823

Я пытаюсь показать, что $[A,B^n] = nB^{n-1}[A,B]$ где A и B — два эрмитовых оператора, коммутирующих со своим коммутатором. Тем не менее, я столкнулся с небольшой проблемой и хотел бы подсказать, как действовать дальше.

Если A и B коммутируют, то $[A,B] = ABA^{-1}B^{-1} = e$ где e- единичный элемент группы.

∴ А Б "=" Б А

$\therefore AB=BA$

н "=" 1; [А, Б^{1}] "=" (1) Б^{0} [А, Б] "=" е

$n=1; [A,B^1] = (1)B^0[A,B] = e$ Это утверждение, безусловно, верно. однако переходим к

n = 2

$n = 2$ Я нахожу...

[А, Б^{2}] "=" А Б^{2} А^{- 1} Б^{- 2} "=" А Б Б А^{- 1} Б^{- 1} Б^{- 1} "=" Б Б А А^{- 1} Б^{- 1} Б^{- 1}

$[A,B^2] = AB^2A^{-1}B^{-2} = ABBA^{-1}B^{-1}B^{-1} = BBAA^{-1}B^{-1}B^{-1}$

Где на последнем шаге я использовал тот факт, что A и B коммутируют, чтобы переставить термины. Однако ясно видеть, что этот последний член также просто сводится к тождеству, и для случая n = 2мы имеем:

[А, Б^{2}] "=" е \neq 2 Б [А, Б] "=" 2 Б е "=" 2 Б

$[A,B^2] = e \ne 2B[A,B] = 2Be = 2B$

Очевидно, я предположил что-то, чего не должен был. Тот факт, что существует мультипликативный фактор, подразумевает, nчто я должен добавлять вещи, но я подумал, что если я сделаю это как можно более общим, ответ должен просто выпасть естественным образом. Мне не нужен ответ, пожалуйста, только руководство.

Прахар

Я в замешательстве. Разве это не

[A, B] = A B - B A

$[A,B] = AB - BA$ ?

Ответы (3)

Докажите, что [A,Bn]=nBn−1[A,B][A,Bn]=nBn−1[A,B][A,B^n] = nB^{n-1}[A,B]

Я в замешательстве. Разве это не $[A,B] = AB - BA$ ?

Qмеханик · Answer 1

Кажется, что вопрос (v1) вызван тем, что есть два разных понятия коммутатора :

Один для теории групп :
$\begin{matrix} (1) & [А, Б] "=" А Б А^{- 1} Б^{- 1} \end{matrix}$ $\tag{1} [A,B] ~:=~ ABA^{-1}B^{-1}$ (или иногда $[A,B] := A^{-1}B^{-1}AB$ , в зависимости от условности), который относительно редко используется в физике.
Один для колец/ассоциативных алгебр :
$\begin{matrix} (2) & [А, Б] "=" А Б - Б А, \end{matrix}$ $\tag{2} [A,B]:=AB-BA,$ это определение обычно используется в физике. (Это последнее определение (2) обобщается на суперкоммутатор в супералгебрах .)

Личность

\begin{matrix} (*) & [А, Б^{н}] "=" н Б^{н - 1} [А, Б] \end{matrix}

$\tag{*} [A,B^n] ~=~ nB^{n-1}[A,B]$

выполняется в последнем смысле (2), если $[[A,B],B]=0$ . (Не нужно требовать $[A,[A,B]]=0$ .) В более общем смысле, для достаточно хорошей функции $f$ , у нас есть

\begin{matrix} (**) & [А, ф (Б)] "=" ф^{'} (Б) [А, Б], \end{matrix}

$\tag{**} [A,f(B)] ~=~ f^{\prime}(B)[A,B],$

если $[[A,B],B]=0$ .

Групповой коммутатор (1) безразмерен, что (среди прочего) делает тождество (*) неестественным для требования к групповым коммутаторам.

Я понял, вы должны использовать тождество [A,BC] = [A,B]C + [B,A]C в сочетании с тем, что вы сказали выше. Я такой глупый. Спасибо!
если $[A,B]$ не ездит с $B$ , то он идет до или после $B$ ?
уравнения ( $\ast$ ) & ( $\ast\ast$ ) в общем случае не выполняются ни в одном порядке (или даже в их линейных комбинациях), если $[A,B]$ не ездит с $B$ .
Привет @Basheer Algohi. Существует ли класс функций $f$ где можно посмотреть как это доказать?
Правильно, разложение Тейлора $f$ является основной идеей.

авиджиано · Answer 2

Вот еще один способ доказать эту связь по индукции:

Убедитесь, что утверждение справедливо для $n = 1$

[А, Б^{1}] "=" 1 \cdot Б^{1 - 1} [А, Б] "=" [А, Б]

$[A,B^1]=1 \cdot B^{1-1} [A,B] = [A,B]$

Покажите, что если формула верна для $n=k ~ \big(I\big)$ , то оно верно и для $n=k+1$ , используя тождество $[X, YZ] = [X,Y]Z + Y[X,Z] ~\big(II\big)$ и тот факт, что $B$ коммутирует с $[A,B] ~\big(III\big)$

\begin{aligned} [А, Б^{(к + 1)}] & "=" [А, Б^{к} Б] \\ "=" [А, Б^{к}] Б + Б^{к} [А, Б] (я я) \\ "=" к Б^{к - 1} [А, Б] Б + Б^{к} [А, Б] (я) \\ "=" к Б^{к - 1} Б [А, Б] + Б^{к} [А, Б] (я я я) \\ "=" к Б^{к} [А, Б] + Б^{к} [А, Б] \\ "=" (к + 1) Б^{к} [А, Б] \\ "=" (к + 1) Б^{(к + 1) - 1} [А, Б] \end{aligned}

$\begin{align} [A,B^{(k+1)}] &= [A,B^k B] \\ & = [A,B^k]B + B^k[A, B] ~\big(II\big)\\ & = k B^{k-1}[A,B]B + B^k[A, B] ~\big(I\big) \\ & = k B^{k-1}B[A,B] + B^k[A, B] ~\big(III\big) \\ & = k B^k[A,B] + B^k[A, B] \\ & = (k + 1) B^k[A,B] \\ & = (k + 1) B^{(k+1)-1}[A,B] \\ \end{align}$

Поскольку и базис, и индуктивный шаг были выполнены, по математической индукции утверждение верно для всех натуральных чисел. $n$ . $\Box$

м.мибо · Answer 3

Возможно, вы могли бы показать эту связь по-другому:

$[A,B^n]=[A,B^{n-1}B]=B^{n-1}[A,B]+[A,B^{n-1}]B=...$

Тогда вы берете $[A,B^{n-1}]B$ и повторите процесс:

$[A,B^{n-1}]B=[A,B^{n-2}B]B=B^{n-2}[A,B]B+[A,B^{n-2}]BB$

Так $B$ ездить с $[A,B]$

$[A,B^{n-1}]B=B^{n-1}[A,B]+[A,B^{n-2}]B^2$

Повторить для $n$ шаги

$[A,B^n]=B^{n-1}[A,B]+B^{n-1}[A,B]+...+B^{n-1}[A,B]=nB^{n-1}[A,B]$

Докажите, что [A,Bn]=nBn−1[A,B][A,Bn]=nBn−1[A,B][A,B^n] = nB^{n-1}[A,B]

пользователь28823

Прахар

Ответы (3)

Qмеханик

пользователь28823

подушечки

Qмеханик

Башир Алгохи

Qмеханик

Башир Алгохи

Qмеханик

авиджиано

м.мибо

Помогите упростить уравнение коммутатора

Коммутатор положения и импульса

Коммутатор с квадратным корнем

Квантовый коммутатор

Коммутация оператора углового момента [закрыто]

Как получить я \ hbar \ гидроразрыва {\ парциальное F (\ vec p)} {\ парциальное p_i}

Фундаментальные коммутационные соотношения в квантовой механике

Коммутаторы с функциями

Отличие антикоммутатора [закрыто]

Докажите: AAA и BBB коммутируют, поэтому функции f(A)f(A)f(A) и g(B)g(B)g(B) всегда будут коммутировать друг с другом [закрыто]