Сохраняющийся ток поля Клейна-Гордона

Эта задача тесно связана с задачей 7 в этом наборе задач из курса QFT Дэвида Тонга: http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft/oh1.pdf

Итак, я изучаю поле Клейна-Гордона.$\phi$с лагранжианом$\mathcal{L}=\frac{1}{2} ( \partial_{\mu} \phi )(\partial^{\nu} \phi) - \frac{1}{2} m \phi^{2}$.

Я имею дело со следствиями теоремы Нётер в результате симметрии$x^{\mu} \to x^{\mu} + \omega^{\mu}_{\ \nu} x^{\nu}$, где$\omega^{\mu}_{\ \nu}$является бесконечно малым антисимметричным тензором (в общем, это по существу бесконечно малое преобразование Лоренца). Это дает мне вариант поля$\delta \phi = - \omega^{\mu}_{\ \nu} x^{\nu} (\partial_{\mu} \phi)$.

Я смог показать, что$\delta \mathcal{L} = \partial_{\mu}( - \omega^{\mu}_{\ \nu} x^{\nu} \mathcal{L} ) := \partial_{\mu} F^{\mu}$. Итак, используя доказательство теоремы Неотер, я знаю, что могу построить следующий сохраняющийся ток:

$$\begin{align}j^{\lambda} &= \frac{ \partial \mathcal{L} }{ \partial( \partial_{\lambda} \phi ) } \delta \phi - F^{\lambda} \\ &= - \omega^{\mu}_{\ \nu} x^{\nu} \frac{ \partial \mathcal{L} }{ \partial( \partial_{\lambda} \phi ) } ( \partial_{\mu} \phi ) + \omega^{\lambda}_{\ \nu} x^{\nu} \mathcal{L} \\ &= - \omega^{\mu}_{\ \nu} x^{\nu} \left( \frac{ \partial \mathcal{L} }{ \partial( \partial_{\lambda} \phi ) } ( \partial_{\mu} \phi ) - \delta^{\lambda}_{\ \nu} \mathcal{L} \right) \\ &= - \omega^{\mu}_{\ \nu} x^{\nu} T_{\ \nu}^{\lambda}\end{align}$$

где$T$– тензор энергии-импульса.

Это ответ для сохраняющегося тока в приведенной выше ссылке. Меня пока все устраивает.

$\ $

Мой вопрос:

Я каким-то образом должен взять вышеизложенное и получить сохраняющийся ток:

$$(j^{\lambda})^{\nu \mu} = x^{\nu} T^{\mu \lambda} - x^{\mu} T^{\nu \lambda}$$

Как мне это сделать? Как так получилось, что у меня вдруг появились два лишних ''$\mu\nu$'' компоненты? Я предполагаю, что мне нужно как-то "отклеить"$\omega_{\mu\nu}$из вышеперечисленного$j^{\lambda}$, и использовать антисимметрию$\omega$, но я не знаю, как это сделать.

Также: Предположительно, существует шесть вышеперечисленных течений.$(j^{\lambda})^{\nu\mu}$... Откуда это число? Как это так?