Преобразование Лоренца антисимметричного тензора

Question

Преобразование Лоренца антисимметричного тензора

Голанор

Я пытаюсь найти бесконечно малое преобразование Лоренца антисимметричного тензора ранга 2. Просматривая Пескина, я вижу только преобразование вектора, да и там оно просто дано. Я думал о том, чтобы разработать его, написав его как тензорное произведение двух тензоров ранга 1. Это дает мне:

С_{мю ν} "=" А_{мю} Б_{ν} - А_{ν} Б_{мю} дельта С_{мю ν} "=" дельта А_{мю} Б_{ν} + А_{мю} дельта Б_{ν} - дельта А_{ν} Б_{мю} - А_{ν} дельта Б_{мю}

$C_{\mu\nu} = A_\mu B_\nu - A_\nu B_\mu\\ \delta C_{\mu\nu} = \delta A_\mu B_\nu + A_\mu\delta B_\nu - \delta A_\nu B_\mu - A_\nu\delta B_\mu$ где

дельта А_{мю} "=" ϵ_{мю}^{ν} А_{ν} - ϵ_{мю}^{ν} А_{ν}

$\delta A_\mu = \epsilon_\mu^{\phantom\mu\nu}A_\nu - \epsilon^\nu_{\phantom\nu\mu}A_\nu$

Можно ли это также обобщить для любого тензора ранга n? Можно ли таким образом найти тензор спина для любого целочисленного представления Лоренца?

Любопытный Разум

Обратите внимание на вопросы, потенциальный ответ на которые — простое «да». не подходят для формата SE.

Голанор

Я понимаю что ты имеешь ввиду. Не лучше ли просто спросить, что такое трансформация, не показывая свою идею по этому поводу?

пользователь_35

На мой взгляд, ваш вопрос и так прекрасен, отчасти потому, что ваш подход неверен. Полезно посмотреть, какие ошибки вы делаете, чтобы дать эффективный ответ.

Любопытный Разум

Нет, показывать свою идею определенно лучше, чем не показывать ничего. Такие вопросы сложно задавать здесь, потому что они быстро противоречат нашей политике выполнения домашних заданий . Я, честно говоря, не знаю, как превратить это в хороший вопрос, хотя я думаю, что должна быть версия этого, которая соответствует теме...

Голанор

Что вы думаете об этой версии?

Дж. Г.

Бесконечно малое преобразование Лоренца имеет вид

Λ_{μ}^{ρ} = δ_{μ}^{ρ} + ϵ_{μ}^{ρ}

$\Lambda_\mu^{\,\,\rho}=\delta_\mu^{\,\,\rho}+\epsilon_\mu^{\,\,\rho}$ , где вы можете вычислить, какие

ϵ

$\epsilon$ квалифицировать как упражнение. Затем вы можете переставить

C_{μ μ} + δ C_{μ μ} = Λ_{μ}^{ρ} Λ_{ν}^{σ} C_{ρ σ}

$C_{\mu\mu}+\delta C_{\mu\mu}=\Lambda_\mu^{\,\,\rho}\Lambda_\nu^{\,\,\sigma}C_{\rho\sigma}$ получить

δ C

$\delta C$ .

Ответы (1)

Преобразование Лоренца антисимметричного тензора

Обратите внимание на вопросы, потенциальный ответ на которые — простое «да». не подходят для формата SE.
Я понимаю что ты имеешь ввиду. Не лучше ли просто спросить, что такое трансформация, не показывая свою идею по этому поводу?
На мой взгляд, ваш вопрос и так прекрасен, отчасти потому, что ваш подход неверен. Полезно посмотреть, какие ошибки вы делаете, чтобы дать эффективный ответ.
Нет, показывать свою идею определенно лучше, чем не показывать ничего. Такие вопросы сложно задавать здесь, потому что они быстро противоречат нашей политике выполнения домашних заданий . Я, честно говоря, не знаю, как превратить это в хороший вопрос, хотя я думаю, что должна быть версия этого, которая соответствует теме...
Бесконечно малое преобразование Лоренца имеет вид $\Lambda_\mu^{\,\,\rho}=\delta_\mu^{\,\,\rho}+\epsilon_\mu^{\,\,\rho}$ , где вы можете вычислить, какие $\epsilon$ квалифицировать как упражнение. Затем вы можете переставить $C_{\mu\mu}+\delta C_{\mu\mu}=\Lambda_\mu^{\,\,\rho}\Lambda_\nu^{\,\,\sigma}C_{\rho\sigma}$ получить $\delta C$ .

пользователь_35 · Answer 1

Вроде того, за исключением того, что вы обычно не можете разложить тензор ранга 2 на произведение тензоров ранга 1.

Позволять $\Lambda^{\mu}{}_{\nu}$ — произвольное преобразование Лоренца. Как вы, наверное, видели у Пескина, это преобразование действует на векторы как

{Икс}^{мю} \mapsto Λ^{мю}_{ν} {Икс}^{ν} .

$x^{\mu} \mapsto \Lambda^{\mu}{}_{\nu} x^{\nu}.$

Мы можем распространить этот принцип на тензор с произвольным числом ап-индексов. Например, для тензора ранга 2 $T^{\mu \nu},$ у нас есть

Т^{мю ν} \mapsto Λ^{мю}_{р} Λ^{ν}_{о} Т^{р о} .

$T^{\mu \nu} \mapsto \Lambda^{\mu}{}_{\rho} \Lambda^{\nu}{}_{\sigma} T^{\rho \sigma}.$

Так, например, поскольку утверждение о том, что $\Lambda$ является преобразованием Лоренца, эквивалентно утверждению, что оно оставляет метрику Минковского $\eta^{\mu \nu}$ инвариант, $\Lambda$ должен удовлетворить $\eta^{\mu \nu} \mapsto \eta^{\mu \nu},$ или

Λ^{мю}_{р} Λ^{ν}_{о} η^{р о} "=" η^{мю ν} .

$\Lambda^{\mu}{}_{\rho} \Lambda^{\nu}{}_{\sigma} \eta^{\rho \sigma} = \eta^{\mu \nu}.$

Теперь, как следует $\Lambda$ действовать на даун-индексы? Ну, мы можем получить индекс вниз из индекса вверх, понизив с помощью метрики. Итак, начиная с $x_{\mu} = \eta_{\mu \nu} x^{\nu}$ и используя тот факт, что $\Lambda$ оставляет метрику неизменной, имеем

{Икс}_{мю} "=" η_{мю ν} {Икс}^{ν} \mapsto η_{мю ν} Λ^{ν}_{р} {Икс}^{р} "=" Λ_{мю}^{р} {Икс}_{р} .

$x_{\mu} = \eta_{\mu \nu} x^{\nu} \mapsto \eta_{\mu \nu} \Lambda^{\nu}{}_{\rho} x^{\rho} = \Lambda_{\mu}{}^{\rho} x_{\rho}.$

Это говорит нам, как $\Lambda$ должны действовать на даун-индексы. Однако в частном случае преобразований Лоренца тензор $\Lambda_{\mu}{}^{\rho}$ имеет определенное свойство. Если умножить на тензор $\Lambda^{\tau}{}_{\rho},$ мы нашли

Λ^{т}_{р} Λ_{мю}^{р} "=" Λ^{т}_{р} (η_{мю ν} Λ^{ν}_{о} η^{о р}) "=" η_{мю ν} (Λ^{ν}_{о} Λ^{т}_{р} η^{о р}) "=" η_{мю ν} η^{ν т} "=" {дельта}_{мю}^{т} .

$\Lambda^{\tau}{}_{\rho} \Lambda_{\mu}{}^{\rho} = \Lambda^{\tau}{}_{\rho} (\eta_{\mu \nu} \Lambda^{\nu}{}_{\sigma} \eta^{\sigma \rho}) = \eta_{\mu \nu} (\Lambda^{\nu}{}_{\sigma} \Lambda^{\tau}{}_{\rho} \eta^{\sigma \rho}) = \eta_{\mu \nu} \eta^{\nu \tau} = \delta_{\mu}{}^{\tau}.$

Итак, у нас есть $\Lambda^{\tau}{}_{\rho} \Lambda_{\mu}{}^{\rho} = \delta_{\mu}{}^{\tau} = \Lambda^{\tau}{}_{\rho} (\Lambda^{-1})^{\rho}{}_{\mu}.$

Итак, в общем, делаем вывод $\Lambda_{\mu}{}^{\rho} = (\Lambda^{-1})^{\rho}{}_{\mu}.$ Таким образом, в то время как повышающие индексы естественным образом трансформируются при $\Lambda$ , даун-индексы естественным образом преобразуются при $\Lambda^{-1}.$ То есть,

{Икс}_{мю} \mapsto Λ_{мю}^{р} {Икс}_{р} "=" (Λ^{- 1})^{р}_{мю} {Икс}_{р} .

$x_{\mu} \mapsto \Lambda_{\mu}{}^{\rho} x_{\rho} = (\Lambda^{-1})^{\rho}{}_{\mu} x_{\rho}.$

Теперь легко ответить на ваш первоначальный вопрос: «Как тензор ранга 2 $C_{\mu \nu}$ преобразовать при преобразовании Лоренца?» Как и в случае множественных повышающих индексов, мы можем просто расширить наш принцип, чтобы увидеть

С_{мю ν} \mapsto (Λ^{- 1})^{р}_{мю} (Λ^{- 1})^{о}_{ν} С_{р о} .

$C_{\mu \nu} \mapsto (\Lambda^{-1})^{\rho}{}_{\mu} (\Lambda^{-1})^{\sigma}{}_{\nu} C_{\rho \sigma}.$

Или, что то же самое,

С_{мю ν} \mapsto Λ_{мю}^{р} Λ_{ν}^{о} С_{р о} .

$C_{\mu \nu} \mapsto \Lambda_{\mu}{}^{\rho} \Lambda_{\nu}{}^{\sigma} C_{\rho \sigma}.$

Да, но это для конечного преобразования. Я пытаюсь понять, что такое тензор спина для антисимметричного (или общего) тензора ранга 2, который задается инфинитезимальным преобразованием, а не конечным.
О, я полностью пропустил «бесконечно малую» часть вашего вопроса! Вы можете записать бесконечно малое преобразование Лоренца как тождество плюс некоторую антисимметричную тензорную омегу и применить тот же принцип, сохраняя только члены до первого порядка по омеге.
Но, возможно, это поможет лучше понять, что именно вы пытаетесь вычислить. Различные методы более полезны в различных обстоятельствах.
Я хочу найти обобщение ${[С_{α β}]}_{ν}^{мю} "=" я ({дельта}_{α}^{мю} η_{β ν} - {дельта}_{β}^{мю} η_{α ν})$ $\left[S_{\alpha\beta}\right]^\mu_\nu = i(\delta^\mu_\alpha\eta_{\beta\nu}-\delta^\mu_\beta\eta_{\alpha\nu})$ к тензорам ранга 2.

Преобразование Лоренца антисимметричного тензора

Голанор

Любопытный Разум

Голанор

пользователь_35

Любопытный Разум

Голанор

Дж. Г.

Ответы (1)

пользователь_35

Голанор

пользователь_35

пользователь_35

Голанор

Квантование заряда Лоренца

Доказательство лоренц-инвариантности лоренц-инвариантного элемента фазового пространства

Сохраняющийся ток поля Клейна-Гордона

Как построить образующие и алгебру Ли для группы Лоренца?

контравариантные компоненты тензора электромагнитного поля при преобразовании Лоренца

Как бы я связал Λ=e−iωμνJμν/2Λ=e−iωμνJμν/2\Lambda=e^{-i\omega_{\mu\nu}J^{\mu\nu}/2} с матрицей усиления Лоренца?

Коммутационные соотношения образующих группы Лоренца

Проблема с использованием формулы замедления времени

Внутренний продукт Кляйна-Гордона: как сделать его реальным

Как доказать, что спинорные уравнения Вейля лоренц-инвариантны? [дубликат]