Почему принцип наименьшего действия?

Не мог бы кто-нибудь убедить меня, что есть что-то естественное в выборе лагранжевой формулировки...

Если я спрошу старшеклассника-физика: «Я вращаю мяч на веревке вокруг своей головы по кругу. Веревка перерезана. - в том направлении, в котором была направлена ​​струна в момент ее разрезания. Это неправильно; мяч на самом деле движется по касательной к окружности, а не по радиусу. Но начинающий ученик, вероятно, подумает, что это неестественно. Как они теряют этот инстинкт? Наверное, не одним суперкрутым объяснением. Вместо этого он анализирует больше проблем, видит принципы, применяемые в новых ситуациях, учится применять эти принципы сами по себе и постепенно, в течение месяцев или лет, выстраивает то, что студент бакалавриата считает обычной интуицией.

Так что я предполагаю, что нет, никто не сможет убедить вас в том, что лагранжева формулировка естественна. Вы убедитесь в этом по мере того, как продолжите больше изучать физику, и если вы рассчитываете убедиться во всем сразу, вас ждет разочарование. Пока достаточно того, что вы понимаете то, чему вас учили, и хорошо, что вы об этом думаете. Но я сомневаюсь, что кто-то может быстро передумать. Со временем вам придется изменить его для себя.

При этом я думаю, что наиболее интуитивный способ приблизиться к принципам действия — использовать принцип наименьшего (т.е. стационарного) времени в оптике. Попробуйте КЭД Фейнмана , которая дает веские основания полагать, что принцип стационарного времени вполне естественен.

Вы можете пойти дальше в математике, изучив формулировку интеграла по путям нерелятивистской квантовой механики и увидев, как она приводит к высокой вероятности путей стационарного действия.

Что еще более важно, просто максимально использовать лагранжевую механику, а не просто находить уравнения движения для двадцати различных систем. Используйте его, чтобы делать интересные вещи. Узнайте, как увидеть взаимосвязь между симметриями и законами сохранения в лагранжевом подходе. Узнайте об относительности. Узнайте, как вывести электромагнетизм из принципа действия — сначала изучая лагранжиан для частицы в электромагнитном поле, а затем изучая само электромагнитное поле, описываемое лагранжевой плотностью. Попробуйте объяснить это кому-нибудь — их вопросы обострят ваше понимание. Посмотрите лекции Леонарда Сасскинда на YouTube (особенно 1 и 3 серии). Это самый интуитивный источник этого материала, который я знаю.

Прочитайте некоторые из многих вопросов здесь, в тегах Лагранжа или Нётера . Посмотрите, сможете ли вы понять их ответы, а затем прочитайте ответы, которые предоставили люди, чтобы сравнить.

Если вы считаете, что лагранжев подход неверен, вам может понадобиться, чтобы кто-нибудь убедил вас в обратном. Но если вы просто еще не чувствуете себя с ним комфортно, вы лишаете себя большого удовольствия, не уделяя время изучению его тонкостей.

Наконец, ваш вопрос очень похож на этот , так что ознакомьтесь с ответами там же.

Интуиция для принципа Лагранжа приходит к конкретным применениям законов Ньютона, особенно к обратимым системам с ограничениями, такими как несферические частицы, катящиеся по сложным поверхностям. Формулировка Ньютоном законов Ньютона не была концом истории, потому что в решениях такого типа задач было больше структуры, чем то, что Ньютон сделал очевидным.

Одна вещь, о которой Ньютон не сказал, — это сохранение энергии. Упругие процессы более фундаментальны, чем неупругие. Но энергосбережение — это только часть дела. Предположим, у вас есть связка масс, соединенных пружинами, и одна из них прикреплена к двойному маятнику. Теоретически в такой системе можно было бы сохранять энергию, если бы вся энергия вытекала из масс на пружинах и попадала в двойной маятник. Возможно, каждое движение пружин без трения в конце концов переводит всю энергию в одну моду.

Ваша интуиция, вероятно, бунтует, говоря вам: «Это бесконечно маловероятно! Как мог маятник двигаться и не заставлять пружины вибрировать!» Но в самих по себе законах Ньютона, даже с учетом принципа сохранения энергии, нет ничего, что мешало бы такого рода концентрации энергии. Но растворы не демонстрируют таких явлений, и должна быть причина, почему.

Эта интуиция подсказывает вам, что идеальная механическая система без трения не просто сохраняет энергию, она должна сохранять некоторое понятие «движение-объем», так что если вы измените начальное состояние на определенную величину, конечное состояние должно измениться таким же образом. . Он не может сконцентрировать все движения в одном режиме. Этот принцип является принципом сохранения объема фазового пространства или сохранения информации. Если бы все движение было сосредоточено в одной моде, информация о том, где все находится, должна была бы быть абсурдно сжата в крошечную область фазового пространства, пространство всех возможных движений.

Сохранение информации столь же фундаментально, как законы движения Ньютона, — оно открывает новые факты о природе, необходимые для описания статистических и квантовых систем. Но его нигде нет в ньютоновской формулировке, потому что оно не следует из одних только законов Ньютона, даже с добавлением закона сохранения энергии.

Итак, вам нужно понять, какой тип закона даст закон сохранения информации. Есть два пути спуска, и оба ведут к одной и той же структуре, но с двух разных точек зрения, локальной во времени и глобальной во времени.

Один путь — гамильтонов: вы рассматриваете формулировку закона движения как набор симплектических уравнений для положения и импульса. Эта формулировка четко разделяет обратимую и необратимую динамику, потому что она работает только для обратимой. Это также объясняет фундаментальную математическую структуру обратимой классической механики, симплектической геометрии. Объем симплектической геометрии дает точный закон сохранения информации, а далее выясняется геометрическое строение систем с мультипериодическими решениями — интегрируемых систем.

Но эта точка зрения сосредоточена на разрезании времени — она описывает вещи, переходящие от одного момента времени к другому. Это не очень хорошая игра с относительностью. Таким образом, вы также хотите думать о решении глобально и рассматривать пространство всех решений как фазовое пространство. Начальное положение и скорости — хорошие координаты, причем интуитивно понятные, потому что они определяют будущее. Но если вам нужна глобальная картина, вам нужны координаты, симметричные между конечным и начальным состоянием, поскольку динамика обратима. Явное обратимое описание должно симметрично рассматривать начальное и конечное время. Таким образом, вы можете использовать начальные положения и конечные положения, которые также, в общем, вдали от определенных неправильных выборов, определяют движение.

Для этих типов координат в фазовом пространстве вы даете динамический закон как условие на траекторию между начальным и конечным положениями. Условие не следует формулировать как дифференциальное уравнение, потому что такое описание неестественно для граничных условий такого рода. Но когда у вас есть принцип действия, вы определяете траекторию путем экстремума действия между конечными точками, вы автоматически получаете интуитивно понятное понятие объема фазового пространства — объем фазового пространства определяется изменением действия экстремальные траектории по изменению начальных скоростей. Этот объем такой же, как и для изменений экстремальных траекторий по отношению к изменениям конечных скоростей. Это прямое следствие эквивалентности лагранжевой и гамильтоновой формулировок.

Полное обоснование обоих принципов дает только квантовая механика. Там вы узнаете, что принцип наименьшего действия — это геометрический оптический принцип Ферма для волн материи, и он говорит, что траектории перпендикулярны линиям с постоянной фазой. Но исторически формулировка Лагранжа была признана более фундаментальной за столетие до того, как Гамильтон предположил, что классическая механика является волновой механикой, и это было за много десятилетий до Шредингера. Тем не менее, с нашей современной точки зрения, не помешает сначала изучить квантовую версию этих формулировок, и она, безусловно, обеспечивает более прочную мотивацию, чем эвристические соображения, которые я привел выше.

ОП написал:

Насколько я могу судить, отсюда нужно играть, пока вы не получите лагранжиан, который дает нужные вам уравнения движения.

Слишком часто студенту показывают, как вывести 2-й закон Ньютона из уравнений Эйлера-Лагранжа , постулируя некоторый конкретный лагранжиан.$L$. Если кто-то считает, что законы Ньютона более естественны (в контексте нерелятивистской классической механики), то, возможно, было бы более приятно увидеть вывод в другом направлении, т.е. увидеть уравнения Лагранжа, выведенные из законов Ньютона. Это сделано, например, в первой главе книги Герберта Гольдштейна « Классическая механика», ср . например , этот пост Phys.SE. (Важным элементом этого вывода является демонстрация того, что большой класс ограничивающих сил не совершает виртуальной работы , что приводит к принципу Даламбера .)

Вмешиваясь в работу, позвольте мне напоследок упомянуть, что существуют уравнения движения, не имеющие принципа действия, ср. например , этот пост Phys.SE.

Вот, наконец, моя собственная попытка решить эту проблему.

Чтобы понять это, нам сначала нужно, как и во многих других случаях, сделать шаг назад. Сначала нас должен интересовать не столько вид лагранжиана, сколько его цель , а именно:

Лагранжиан позволяет нам описать движение как процесс оптимизации.

Теперь, почему мы можем захотеть это сделать? Ответ прост: Многиевещи в мире включают некоторую форму процесса оптимизации во многих, многих областях. Знакомая вещь из физики, с которой вы, вероятно, сталкивались непосредственно в своей жизни, — это мыльная пленка. Он принимает такую ​​форму, потому что стремится к минимуму энергии или наиболее справедливому распределению сил. Если бы они были неуравновешенными, то это притягивало бы его к другой форме, пока это равновесие не было бы достигнуто. Другим примером являются формы планет: вот почему все они являются (почти) сферами: эта форма, опять же, оптимизирует потенциальную энергию. В человеческой цивилизации мы также пытаемся найти оптимум во многих вещах: например, мы склонны искать наименее затратное решение любой проблемы, независимо от того, насколько оно лучше или хуже. Это, вероятно, также коренится в конечном счете в биологической оптимизации нашей психологии или лучшепсихокультурная смесь в процессе эволюции, оптимизирующая репродуктивный успех.

Эти примеры должны убедить вас в том, что смотреть на вещи с точки зрения поиска оптимума вполне разумно, и поэтому мы могли бы спросить себя, может ли или должно ли движение рассматриваться как таковое в каком-то смысле: смысле, в котором мы можем сказать, что объекты движутся по своим путям, потому что они в этом смысле «оптимальны»? Может быть, его нет или оно не говорит нам ничего просветляющего, но, с другой стороны, может быть, что оно есть.

И ответом на это является лагранжиан, хотя он и не является удовлетворительным на 100%, потому что выбранный путь, строго говоря, не обязательно должен быть действительно путем наименьшего действия. Мы интегрируем его, он дает нам своего рода «стоимость», так сказать, которая затем (частично) оптимизируется и дает нам «правильный» путь движения, который объект «действительно» выбирает. Конечно, это все еще оставляет открытым вопрос о том, почему он принимает довольно странную форму.

чтобы действие было

по параметрической потенциальной траектории движения$\gamma$, помимо просто «ну, он воспроизводит движения, которые мы видим». В то время как это было бы — и я вернусь к этому в конце — не будет сюрпризом, если это, учитывая, что это общая структура, для довольно сложных и неясных явлений, не может быть прямой интерпретации, первое разоблачение Эта концепция все еще находится в контексте базовой ньютоновской механики, и, следовательно, должен быть хотя бы какой -то способ сделать ее интуитивно понятной, чтобы дать основу для построения этих более сложных концепций и приложений.

И это лучший ответ, который я мог придумать. Поскольку мы рассматриваем движение как оптимизацию выбранного пути с точки зрения «стоимости», в идеале мы будем стремиться к ее минимизации, учитывая, что, вообще говоря, интуитивно мы склонны думать с точки зрения сбережений, а не с точки зрения расходов, когда это необходимо. приходит к «улучшению» выполнения чего-либо. С этой целью давайте рассмотрим еще кое-что, с чем, надеюсь, многие люди должны быть знакомы хотя бы на каком-то уровне, а именно с денежными затратами, необходимыми для перевозки партии товаров из одной точки в другую на поверхности Земли. В частности, мы можем представить себе перевозку товаров наземным транспортным средством, таким как грузовик или поезд, и когда мы это делаем, мы обычно обнаруживаем, что на стоимость влияют как минимум четыре фактора:

1. Масса груза: более тяжелые грузы дороже перевозить, и, как правило, счета за перевозку выставляются на основе массы груза.
2. Расстояние , на которое его перевозят: чем дальше нам нужно его перевезти, тем дороже (например, больше топлива, больше риска, больше оплаты водителю и т. д.),
3. Время перевозки : если нам требуется быстрая доставка , рассчитывайте заплатить больше (лучшие транспортные средства, нужно выбирать правильные маршруты доставки, водителю, возможно, придется не спать дольше...),
4. Условия перевозки: если перевозка требует преодоления ненастной погоды , сложной местности или других подобных факторов, опять же ожидайте дополнительных затрат, по крайней мере, где- то на этом пути.

И весьма интересно оказывается, что, по крайней мере, в простых случаях мы можем, как это ни удивительно, интерпретировать «странный» лагранжиан практически почти таким же образом:

Действие — это «цена», которую Природа заплатит за перевозку своих товаров.

Чтобы сделать это, мы должны сначала немного сузить наше внимание, а затем переписать его в форме, которую физик, по крайней мере обученный стандартной «модели», мог бы найти необычной, но математически на 100% кошерной. Сужение нашего внимания в основном касается случая одиночной частицы, и мы используем обычные координаты для движения. В этой установке принцип действия принимает форму, в которой вы можете убедиться, из (непрозрачного) дела «кинетический минус потенциал»,

который мы можем затем переписать как

Теперь обратите внимание на следующий трюк:$\dot{\gamma} = \frac{d\gamma}{dt}$это просто скорость,$\mathbf{v}(t)$, вектор, так как это производная пути по времени в обычных координатах, по настройке. Таким образом, его квадрат равен квадрату скорости:$[v(t)]^2$, где скорость$v$равно$\frac{ds}{dt}$, скорость, с которой длина дуги ($s$) закрывается по истечении времени. Используя это, мы можем преобразовать первый интеграл в:

который путем «бесстыдного смешения дифференциалов» (т. е. цепного правила и замены переменной) становится

(Обратите внимание, если$s$является функцией$t$,$ds$становится$s'\ dt$, а также$v(s(t))$просто$v(t)$, как раз то, что у нас было раньше.)

куда$d_\mathrm{tot} = d_\mathrm{trav}$это общее расстояние, пройденное за полное движение, и мы перешли к измерению прогресса движения с точки зрения пройденного расстояния. Еще более убедительно, учитывая обычное определение средних из исчисления, мы можем, таким образом, переписать приведенный выше кинетический член и, следовательно, все действие через среднюю скорость:

Более того, мы можем сделать то же самое для потенциального члена справа, используя средний встречающийся потенциал и время в пути.$t_\mathrm{journ} := t_f - t_i$:

И мы видим, что это выражение очень, очень хорошо согласуется с интуитивными представлениями, которые мы только что обсудили в отношении транспортных расходов: первый член в основном представляет собой стоимость движения., то есть стоимость, присущая перемещению на определенное расстояние с определенной скоростью. Стоимость возрастает пропорционально перевозимой массе, скорости транспорта и расстоянию: именно так, как мы могли бы подумать (хотя в нашем человеческом мире отношение редко бывает столь простым, как точная пропорциональность, подобная этой, — но такова элегантность основных принципов). Вселенной). Более того, в игру вступает значение потенциального термина и этого досадного знака минус: этот термин обращается к четвертому фактору (поэтому я выбрал его, потому что я проработал это до написания этого поста), то есть окружающей среде. , или, возможно, "стоимость местности". Помните, что если наша частица не находится в глубоком межгалактическом пространстве, свободном практически от всех других влияний, она будет подвергаться действию сил, которые будут конкурировать за влияние на ее движение.оставаться как можно меньше времени на как можно меньшей глубине в любых привлекательных колодцах », или с точки зрения стоимости, что вам «выставят счет» больше за пребывание дольше и глубже. Причина отрицательного знака как раз в том, что: по мере того, как потенциальная скважина углубляется, ее потенциал уменьшается . Чтобы увеличить стоимость этой более глубокой глубины , мы должны перевернуть знак потенциала, поэтому он отрицательный. Возможно, не совсем так, как мы установили стоимость, но это должно быть понятно . и разумен по-своему.

Поскольку почему (интуитивно) стационарная точка, а не всегда минимум? Ну, не всегда мы можем получить самое дешевое, что нам может понадобиться в любой ситуации, но мы можем получить что-то вроде дешевого - по крайней мере, если что-то пойдет не так, и нам придется немного отклониться, это не повредит. стоимость слишком велика.

Конечно, как я уже сказал, это все для относительно простого случая. И да, по мере того, как вы переходите к более сложным случаям и более сложным физическим явлениям, становится менее ясным, как действие связано с тем, как мы будем учитывать стоимость, но это неудивительно: сейчас мы имеем дело не с простыми точками... точечное движение. Цель этого упражнения — сначала дать вам базовое интуитивное представление о том, что действие — это цена движения.- и это может быть знакомо каждому, кто играл в определенные ролевые игры: очень часто в них находит свое применение понятие "цены действия". Естественно, что для описания других, более сложных явлений, мы должны определять действие иначе, описывая их в терминах иных издержек, чем эти. Это ничем не отличается от работы с силами, где интуиция предположительно несколько яснее. Например, в электромагнетизме (хотя я, возможно, не совсем правильно понял эту часть) мы можем аналогичным образом описать действие как необходимость смешивать и учитывать надлежащим образом затраты на создание и/или разрушение электромагнитного поля, скорость такого строительства и / или сноса, а также расходы на содержание ненулевого поля.

И это, наконец, отвечает на ваш вопрос, по существу, как вы «думаете» в лагранжевой механике, чтобы получить правильный результат и не сбиться с пути: да, это другая схема, и, к сожалению, как и во многих случаях Имея дело с новыми структурами, кажется, что доминирующий подход к нему состоит в том, чтобы по существу использовать его «путем преобразования» (такая же проблема, как и при обучении американцев метрической системе или обучению иностранному языку, как переводить или соотносить слова / фразы с вашим родным языком , или любой из ряда других примеров этого распространенного сбоя, которые просто не приходят мне в голову прямо сейчас), а не «на своих условиях». Чтобы действительно умело использовать его, вы, по сути, должны дать понятию «силы» взбучку и подумать заново, с самого начала.вместо этого: какие действия здесь происходят и что может помешать или облегчить их (например, погружение в потенциальный колодец), и каковы правильные формулы для описания затрат, которые несут эти действия. Таким образом, если бы мы пошли по этому пути с самого начала, например, если бы Ньютон мыслил как экономист или поставщик услуг, стремящийся повысить производительность, он мог бы начать с постулирования того, что линейное устойчивое движение, т. е. отсутствие потенциальных колодцев, будет иметь линейную стоимость. формула. (И тогда ему пришлось бы сначала разработать вариационное исчисление , тогда как мы относимся к мгновенному исчислению как к первичному... Интересно, как это повлияло бы на развитие математики .... так много непройденных дорог за всю историю, куда они могли пойти? Какие возможности таятся в нем? Я думаю ...)

В заключение мы видим, что, как сказал Мопертюи (сформулировавший несколько более слабый принцип действия перед принципом Гамильтона), действительно,

Природа бережлива во всех своих действиях.

но с нашим более изощренным пониманием мы, возможно, должны мягко убедить его в следующем:

Природа предпочитает бережливость в действии, за исключением тех случаев, когда необходимость вынуждает ее тратить больше, и в этом случае подойдет следующий лучший вариант.

(Еще одно: вы можете спросить, почему$\frac{1}{2}$термин, с этой точки зрения, в кинетическом термине [стоимость двигательного действия]. Можно сказать, что Природе нравится придавать рельефу вдвое большее значение, чем движению, но вы должны заметить, что при соответствующем выборе единиц этот термин может исчезнуть: мы могли бы измерять в половинных единицах массы или в двойные энергетические единицы, отмечая, хотя это может показаться нарушением согласованности в том, как эти единицы обычно определяются. Однако мы могли бы также тогда, возможно, что это «на нас» в том смысле, что мы выводим наши единицы энергии из соображений силы как первичных: помните, что «джоуль» - это «один ньютон силы на один метр расстояния». В самом деле, если бы мы взяли лагранжианкак первичный, что может иметь больше смысла, учитывая его более фундаментальную роль, мы можем искать, что единица энергии - это «энергия, которая «делает что-то» со скоростью одна единица действия в единицу времени», и определять массу так, как нам нужно. как отдельная величина. Действительно, сделав этот выбор, мы, наконец, приходим к «столь жесткой» формулировке ньютоновской механики в случае консервативных сил:

Почти так же легко, как$\mathbf{F} = m\mathbf{a}$!)

Основная цель лагранжевой формулировки классической механики заключалась в том, чтобы полностью избавиться от отношений ограничений, чтобы не нужно было беспокоиться о них при вычислении чего -либо (см. этот мой ответ . Помните, что все ценные симметрии физической ситуации встроены автоматически в этой формулировке механики.

Теперь, когда в нашем распоряжении есть такая мощная техника, естественно задать простой вопрос. Можно ли классическую теорию электромагнетизма, т.е. уравнения Максвелла, выразить в виде уравнений Эйлера-Лагранжа, соответствующим образом определив лагранжиан электромагнитного поля, чтобы мы могли легко получить все те прекрасные результаты структуры этой формулировки (например, избежать надоедливых ограничений поля )? Ответ «да», если мы соответствующим образом определим лагранжиан.

На самом деле замечено, что любые общие классические уравнения поля можно выразить уравнением движения Эйлера-Лагранжа и в каждом случае нужно определить лагранжиан (получается соответствующее «Действие») и все получить бесплатно.

Этот лагранжев подход настолько силен, что даже квантовые теории поля используют его в полной мере, и почти все современные теории физики так или иначе используют его.

Однако совсем не ясно, является ли этот подход полностью общим. Разве для будущей теории не может быть так, что уравнения теории не могут быть выражены в лагранжевой формулировке? Я задал этот вопрос здесь . Посмотрите хорошие ответы.

Что означает «принцип»? У нее много определений, но в контексте данного обсуждения она обладает той же силой, что и «аксиома» в математике: очень основное допущение, изменение которого приводит к смещению или разрушению всей теории построения.

Физика приняла это из геометрического наблюдения, что кратчайшее расстояние между двумя точками представляет собой прямую линию, что логически привело к «минимальному времени» и поиску кратчайшего расстояния, когда оно неизвестно.

что это настолько естественно, что мы даже не смеем отказаться от этих идей?

Если кто-то достаточно блестящий может предложить другой принцип для системы математической формулировки классической механики, а затем и квантовой теории поля, который не следует наименьшему действию, но идеально включает в себя большую базу данных / существующие уравнения и т. д., то нет проблем. Его можно было бы даже принять повсеместно, если бы он мог предсказывать новые впечатляющие результаты. В противном случае из экономии умственных усилий (еще один принцип :) ) все равно будет превалировать система, разработанная по принципу наименьшего действия.

Лагранжиан — это просто (специальный, функциональный вид) антипроизводная уравнения движения. В простых случаях уравнение движения классических частиц представляет собой функцию$F(x,\dot x,\ddot x,...)$положений, скоростей, ускорений и т. д. частиц, для которых уравнение$F(x,\dot x,\ddot x,...)=0$определяет траекторию. Когда функция$F(...)$допускает лагранжеву первообразную, максимумы и минимумы лагранжевой первообразной определяют, где найти нули функции$F(x,\dot x,\ddot x,...)$, производная от лагранжиана.

В лагранжиане не обязательно есть что-то фундаментальное или естественное . Лагранжиан обладает многими формальными свойствами, которые часто делают его чрезвычайно полезным, а нередко делают его довольно простым или красивым. Нам нравятся красивые вещи. Оценивать красоту — дело непростое, в какой-то степени это вопрос опыта, в какой-то степени — просто увидеть ее. Марк и Анна оба довольно хорошие гиды.

Не мог бы кто-нибудь убедить меня, что в выборе лагранжевой формулировки классической механики есть что-то естественное?

Нет, потому что это совсем не естественно! Вот почему потребовались сотни лет и два самых блестящих ума в истории (Лагранж и Гамильтон), чтобы это придумать!

Но факт остается фактом: любой режим физики — ньютоновская механика, механика жидкости, электромагнетизм, нерелятивистская квантовая механика, физика элементарных частиц, релятивистская квантовая теория поля, физика конденсированного состояния, общая теория относительности — может быть сформулирован как экстремальное действие, являющееся интегралом локальный лагранжиан. (Системы конечного числа взаимодействующих классических точечных частиц, возможно, являются единственным исключением). Так что, нравится вам эта идея или нет, очевидно, что она нравится Природе, и вам нужно принять ее, если вы хотите понять вселенную.

Менее легкомысленное замечание: если вы задаете этот вопрос, то вы, вероятно, видели только принцип действия, сформулированный в контексте ньютоновской механики. В этом случае лучше всего эффективно включать ограничения — частицы, ограниченные движением по определенным поверхностям и так далее. В этом контексте я согласен с тем, что лучше всего думать о законах Ньютона как о чем-то более фундаментальном, чем выбор конкретного лагранжиана, который обычно описывает чрезвычайно конкретную систему.

Но по мере того, как вы будете изучать теорию поля и концепции грубой детализации, перенормировки и универсальности, вы увидите, что низкоэнергетические свойства огромного множества систем, состоящих из огромного числа микроскопических степеней свободы с локальными взаимодействиями могут быть описаны теориями поля, заданными действием. На самом деле почти любую систему можно описать таким образом, и такие системы возникают в огромном количестве различных контекстов, от конденсированной материи до квантовой гравитации. Все, что вам нужно знать о микроскопических степенях свободы, — это их симметрии и, возможно, несколько очень простых фактов, например, бозоны они или фермионы.

На самом деле, общее мнение многих физиков в наши дни состоит в том, что мы почти не имеем ни малейшего представления о том, что происходит на планковском масштабе, но мы можем привести довольно точные и количественные аргументы в пользу того, почему не имеет значения , что там происходит, чтобы мы чтобы иметь возможность правильно использовать квантовую теорию поля (определяемую действием!) для описания физики в масштабах длин, которые варьируются на многие порядки.

PS Вы совершенно правы в том, что говорите, что "принцип наименьшего действия" просто неверен. Действие стационарно при конфигурациях, удовлетворяющих физическим уравнениям движения, но может быть максимумом, минимумом или седловой точкой. В книге А. Зи по ОТО поставлена ​​задача, показывающая, что даже для простого гармонического осциллятора действие часто максимизируется, а не минимизируется по уравнениям движения.

Не ответ, но слишком длинный для комментария. Я хотел показать, что, если оставить в стороне терминологию, в общем случае стационарное действие не минимизируется и не максимизируется, поэтому теоретически мы должны говорить о принципе стационарного действия. Рассмотрим простейшую модель падения, для которой единица массы имеет лагранжиан$\dot{z}^2-gz$поэтому уравнение движения$\ddot{z}=-g$. Предположим, что масса падает с высоты$h$в течение времени$\tau:=\sqrt{\frac{2h}{g}}$, а именно$z=h\left(1-\left(\frac{t}{\tau}\right)^n\right)$за$t\in\left[0,\,\tau\right]$с$n=2$. Я намеренно заменил экспоненту свободным параметром, потому что теоретически масса, упавшая на одну и ту же высоту за один и тот же период, могла бы использовать любую$n>0$если бы не уравнение движения. Дело в том, что мы можем показать, что$n=2$ни минимизирует, ни максимизирует действие, полученное за период падения. У нас есть$\dot{z}=-\frac{nht^{n-1}}{\tau^n}$так

Функциональный интеграл в квантовой механике включает в себя суммирование по всем возможным путям в конфигурационном пространстве, которое может пройти квантовая система. Эти пути взвешиваются экспоненциальной мнимой функцией, фаза которой является действием. Используя метод наискорейшего спуска, можно перейти к классическому пределу, который показывает, что уравнения Эйлера-Лагранжа должны выполняться для классического пути.