Я собираюсь предположить, что читатель знаком с (контурным) определением функции Грина:
я г (т1,т2)≡ ⟨ТсψЧАС(Икс1,т1)ψ†ЧАС(Икс2,т2) ⟩≡ Тр[ ρ ( H)ТсψЧАС(Икс1,т1)ψ†ЧАС(Икс2,т2) ] / Тр[ ρ ( H) ]
гдеψЧАС
- оператор уничтожения в картине Гейзенберга, эволюция которого диктуется оператором эволюции во времениU
, начиная с некоторого временит0
, где картины Гейзенберга и Шредингера совпадают.
ψЧАС( Икс , т ) =U†( т ,т0) ψ ( х ) U( т ,т0)
Вот доказательство:
ддтUЧАС( т ,т0)С( т )ддтС( т )⇒ С( т )⇒UЧАС( т + Т,т0)где Хсейчас ψЧАС( х , т + т)я г (т1+ Т,т2+ Т)= - я Н( т )UЧАС( т ,т0)≡UЧАС( т + Т,т0)U†ЧАС( Т,т0)определить вспомогательное количество"="ддтUЧАС( т + Т,т0)U†ЧАС( Т,т0)= - я Н( т + Т)UЧАС( т + Т,т0)U†ЧАС( Т,т0)= - я Н( т ) С( т )используя периодичность H"="UЧАС( т ,т0)U†ЧАС( 0 ,т0)потому что С( 0 ) = 1"="UЧАС( т ,т0)U†ЧАС( 0 ,т0)UЧАС( Т,т0)"="UЧАС( т ,т0) Х≡U†ЧАС( 0 ,т0)UЧАС( Т,т0)"="U†ЧАС( т + Т,т0) ψ ( х ,т0)UЧАС( т + Т,т0)"="Икс†U†ЧАС( т ,т0) ψ ( х ,т0)UЧАС( т ,т0) Х"="Икс†ψЧАС( х , т ) х= ⟨ТсψЧАС(Икс1,т1+ Т)ψ†ЧАС(Икс2,т2+ Т) ⟩= ⟨ТсИкс†ψЧАС(Икс1,т1) ХИкс†ψ†ЧАС(Икс2,т2) Х⟩= ⟨ТсИкс†ψЧАС(Икс1,т1)ψ†ЧАС(Икс2,т2) Х⟩= ⟨ТсψЧАС(Икс1,т1)ψ†ЧАС(Икс2,т2) ХИкс†⟩используя циклическое свойство трассировки= ⟨ТсψЧАС(Икс1,т1)ψ†ЧАС(Икс2,т2) ⟩= г ( _т1,т2)
qed