Функция Грина и закон сохранения импульса

Если взять преобразование Фурье относительно пространства следующей функции Грина

г ( Икс , т ; Икс ′ , т ′ ) "=" − я ⟨ Т { ψ ( Икс , т ) ψ † ( Икс ′ , т ′ ) } ⟩

один заканчивается выражением вроде

г ( к , т ; к ′ , т ′ ) "=" − я ⟨ Т { а к † ( т ) а к ′ † ( т ′ ) } ⟩

где а операторы создают/уничтожают частицу в соответствующих импульсных состояниях.

Мои вопросы таковы: я знаю, что в однородном пространстве сохраняется импульс и он должен быть к "=" к ′ в приведенном выше выражении.

Есть ли строгий аргумент, чтобы увидеть это, с помощью которого можно избежать установки к "=" к ′ рукой?

Что происходит с функциями Грина, когда пространство перестает быть однородным (например, в присутствии примесей или в кристалле)? Является ли FT GF по-прежнему «хорошим» объектом?

Ответы (1)

Сохранение импульса является следствием сдвиговой инвариантности. (Благодаря теореме Нётер мы знаем, что непрерывные симметрии связаны с сохраняющимися величинами.) Инвариантность к сдвигу означает, что функция Грина может зависеть только от относительного смещения. Другими словами, (игнорируя т ) мы бы хотели иметь

г ( Икс , Икс ′ ) "=" г ( Икс − Икс ′ ) .
В этом смысле г ( Икс ) – автокорреляционная функция поля. Теперь есть еще одна теорема, теорема Винера-Хинчина , которая утверждает, что преобразование Фурье автокорреляционной функции есть спектральная плотность мощности
Ф { г ( Икс ) } "=" С ( к ) .
Спектральная плотность мощности представляет собой квадрат модуля спектра поля
С ( к ) "=" | Ф { ψ ( Икс ) } | 2 .
Итак, мы видим, что он содержит только один к , что означает, что в действительности к "=" к ′ .

Теперь что насчет т что мы проигнорировали? Природа также инвариантна к сдвигу во времени, что приводит к энергосбережению. Следовательно, аналогичный анализ можно провести для временных степеней свободы.

Когда пространство неоднородно, так что сдвиговая инвариантность теряется, тогда также теряется сохранение импульса. Тогда нельзя было бы установить эти величины равными.

Функция Грина и закон сохранения импульса
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v