Связь между малой функцией Грина и большей функцией Грина в формализме Келдыша

TL;DR В общем, нет.

Далее следует более продолжительное, но, возможно, не относящееся к делу обсуждение. Обращаясь к классическому обзору RevModPhys.58.323 Раммера и Смита, рассматриваемые величины определяются как (уравнение 2.5):

$$G^{<}(\boldsymbol x_1,t_1,\boldsymbol x_{1'},t_{1'})=\mp i\langle \psi^\dagger_{\mathcal H}(\boldsymbol x_{1'},t_{1'}) \psi_{\mathcal H}(\boldsymbol x_1,t_1)\rangle,$$

$$G^{>}(\boldsymbol x_1,t_1,\boldsymbol x_{1'},t_{1'})=- i\langle \psi_{\mathcal H}(\boldsymbol x_1,t_1) \psi^\dagger_{\mathcal H}(\boldsymbol x_{1'},t_{1'}) \rangle,$$

где$\mathcal H$подразумевает картину Гейзенберга, в то время как$(\boldsymbol x_1,t_1)$и$(\boldsymbol x_{1'},t_{1'})$на данный момент являются совершенно общими.

В тепловом равновесии эти функции зависят только от относительных переменных, т. е.$t_1 - t_{1'}$и$\boldsymbol x_1 - \boldsymbol x_{1'}$. Хорошо известным следствием этого является соотношение, касающееся преобразований Фурье меньшей и большей функций Грина, уравнение 2,65,

$$\tilde G^{<}(E) = e^{-\beta E}\tilde G^{>}(E).$$ Это соотношение в основном выполняется, поскольку гамильтониан в разные моменты времени коммутирует сам с собой в состоянии равновесия (также известном как граничное условие Кубо-Мартина-Швингера ).

Однако если гамильтониан не коммутирует сам с собой, что зависит от вида рассматриваемого возмущения, то это соотношение, очевидно, уже не выполняется.

В зависимости от возмущения должна быть возможность найти аналогичные соотношения (которые теперь должны зависеть от средних переменных$t_1 + t_{1'}$д.), хотя мне не удалось найти ссылку, иллюстрирующую этот момент. В любом случае, такие отношения включали бы пертурбативное расширение, а простых общих отношений, насколько мне известно, не существует.

Для справки, существует «общая взаимосвязь» между$G^{<}(t,t')|_{t'=t}$и$G^{>}(t,t')|_{t'=t}$, то есть когда они оцениваются "в равное время". Он читает

$$G^{R}(t,t) - G^{A}(t,t) = G^{>}(t,t) - G^{<}(t,t) = -i,$$ и по существу является следствием некоммутирующих операторов, поскольку $G^{>}(t,t) - G^{<}(t,t) = -i\langle a a^{\dagger} - a^{\dagger}a \rangle$. Очень важно иметь в виду это соотношение при выводе уравнений движения для функций Грина. Обратите внимание, что $G^{R}(t,t') - G^{A}(t,t') = G^{>}(t,t') - G^{<}(t,t')$всегда держит.