Примеры точной волновой функции основного состояния многих тел

Существует ли нетривиальная система многих тел, для которой известно точное решение уравнения Шредингера? (Под нетривиальной я подразумеваю систему с межчастичным взаимодействием.) Возможно, что-то вроде позитрония или двух электронов в ящике.

Вы ищете физику или математику? Можно создать модели нефизических сил дальнего действия, в которых асимптотическая волновая функция основного состояния точно описывается самосогласованным полем. Для физики я могу указать только на решения Бете-Анзаца в 1d, где можно сделать и нелинейное уравнение Шрёдингера, и антиферромагнетик Гейзенберга, и родственные системы. Сектор фиксированного числа частиц в НУШ является нетривиальной СЭ, и он точно разрешим. Кроме 1d я ничего не знаю.
Да, точно так же есть, например, волновая функция Лафлина, которая очень четкая и точная, за исключением того, что, опять же, мы точно не знаем уравнение, которое она решает, см . en.wikipedia.org/wiki/Laughlin_wavefunction . Кроме того, твердые тела с волнами Блоха для частиц и т. Д. Делают вещи «несколько более разрешимыми», но, опять же, это предел, когда взаимодействия фактически становятся нулевыми в каком-то альтернативном описании. Сам факт того, что система может быть решена, означает, что мы можем интерпретировать ее как систему невзаимодействующих частиц в правильном базисе...

Ответы (4)

Одним из моих любимых нетривиальных, точных основных состояний многих тел является решение очень специфического магнитного изолятора со спином 1 в 1D с гамильтонианом

ЧАС А К л Т "=" ∑ ⟨ я Дж ⟩ С → я ⋅ С → Дж + 1 3 ( С → я ⋅ С → Дж ) 2

Оказывается, можно построить основное состояние, рассматривая операторы со спином 1 как проекцию на триплетное подпространство двух операторов со спином 1/2, где объекты со спином 1/2 образуют ближайшие синглетные связи в очень особенный способ. (Более подробную информацию можно найти http://en.wikipedia.org/wiki/AKLT_Model )

Это точное основное состояние дает нам понимание модели Гейзенберга со спином 1 (т. е. без биквадратичного взаимодействия), а «фракционированные» «краевые состояния» со спином 1/2, которые это состояние предсказывает для магнита с открытыми граничными условиями, были наблюдалось в экспериментах (см. еще раз вики-статью и ссылки на нее)

О гамильтониане, для которого волновая функция Лафлинза является точным основным состоянием, см. FDM Haldane, Fractional Quantization of the Hall Effect: A Hierarchy of Incompressible Quantum Fluid States, Phys. Преподобный Летт. 51, 605–608 (1983), http://prl.aps.org/abstract/PRL/v51/i7/p605_1 .

Подобно гамильтониану в ответе wsc, этот гамильтониан представляет собой сумму проекций, которые представляют взаимодействия. И в обоих случаях основное состояние есть состояние, которое уничтожается всеми этими проекциями.

Точное основное состояние для N бесструктурных бозонов, взаимодействующих контактным взаимодействием В ( Икс 1 − Икс 2 ) "=" г дельта ( Икс 1 − Икс 2 ) известен. В свободном пространстве (также с периодическими граничными условиями бесконечной ширины) для г < 0 Это

ψ г р о ты н г ∝ опыт ⁡ ( м г 2 ℏ 2 ∑ 1 ≤ Дж < к ≤ Н | Икс Дж − Икс к | )

Это состояние, локализованное с парными корреляциями, но имеющее свободный центр масс (описываемый плоской волной).

См. Bethe Ansatz для более подробной информации.

Самый элегантный пример, который я нашел, — это атом Гука, также называемый фисгармонией. Он состоит из двух электронов, запертых в гармонической яме:

ЧАС "=" − ∇ 1 2 − ∇ 2 2 + 1 | р 1 − р 2 | + 1 2 к ( р 1 2 + р 2 2 )

Для определенных значений жесткости пружины k этот гамильтониан может быть решен точно . Например, когда k = ¼, основное состояние:

Ψ ( р 1 , р 2 ) "=" 1 2 8 π 5 / 2 + 5 π 3 ( 1 + 1 2 | р 1 − р 2 | ) опыт ( − 1 4 ( р 1 2 + р 2 2 ) )

Источник: Википедия

Примеры точной волновой функции основного состояния многих тел
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v