Каковы основные препятствия для решения проблемы многих тел в квантовой механике?

Прежде всего позвольте мне начать с того, что$N$-задача с телом в классической механике не является вычислительно сложной для аппроксимации решения. Просто в общем случае не существует аналитического решения в замкнутой форме, поэтому мы должны полагаться на числа.

Однако для квантовой механики проблема намного сложнее. Это связано с тем, что в квантовой механике пространство состояний, необходимое для представления системы, должно быть в состоянии представить все возможные суперпозиции частиц. Хотя количество ортогональных состояний экспоненциально зависит от размера системы, каждое из них имеет соответствующую фазу и амплитуду, что даже при самой грубой дискретизации приведет к двойной экспоненте числа возможных состояний, необходимых для ее представления. Таким образом, в квантовых системах вам нужно$O(2^{2^n})$переменных для разумной аппроксимации любого возможного состояния системы, а не только$O(2^n)$необходимо представить аналогичную классическую систему. Поскольку мы можем представлять$2^m$государства с$m$бит, для представления классического пространства состояний нам нужно всего лишь$O(n)$биты по сравнению с$O(2^n)$биты, необходимые для непосредственного представления квантовой системы. Вот почему считается, что невозможно смоделировать квантовый компьютер за полиномиальное время, но ньютоновскую физику можно смоделировать за полиномиальное время.

Расчет основных состояний еще сложнее, чем моделирование систем. Действительно, в общем случае нахождение основного состояния классического гамильтониана является NP-полным , в то время как нахождение основного состояния квантового гамильтониана является QMA-полным . (С другой стороны, основные состояния в некоторой степени менее важны, потому что системы, для которых сложно вычислить основное состояние (по крайней мере, на QC), также не охлаждаются эффективно.)

Ответ довольно прост — классическая задача N тел имеет решение в$6N$1D функции времени, квантовая задача N тел имеет решение в одной комплексной функции, но$3N$-размерный (не считая спина и тому подобного). Тогда неудивительно, что аналитические решения можно найти только для тривиальных задач или, по крайней мере, сделать так, чтобы$N$огромный и сбежать в статистическую механику. И да, тут дело только в математической сложности.
С точки зрения моделирования точное решение также кажется безнадежным, поскольку сложность памяти составляет всего$\mathcal{O}(K^{3N})$.

В остальной части ответа я ограничусь квантовой химией/материаловедением, так как это наиболее эксплуатируемая область — это означает, что мы сейчас говорим об атомах. Во-первых, у атомов маленькие и очень тяжелые ядра, поэтому их можно рассматривать как почти стационарные источники электростатического потенциала; это сводит проблему только к электронам (приблизительно Борна-Оппенгеймера). Теперь есть два основных пути: Хартри-Фок или теория функционала плотности.
В HF можно приблизительно представить функцию переплетения многих тел как комбинацию некоторых стандартных базовых функций — тогда можно оптимизировать их вклады, чтобы получить минимальную энергию, но при этом использовать расширенный гамильтониан для корректировки эффектов такого приближения. В DFT, поощряемый теоремами Хоэнберга-Кона, функция переплетения многих тел сводится к полю плотности вероятности электронов (трехмерному) и, соответственно, члены уравнения Шредингера к функционалам плотности (и там применяются приближения). Затем его можно решить либо как это трехмерное поле, либо методом Кона-Шама, что в значительной степени является методом Хартри-Фока для DFT (один представляет плотность с помощью базовых функций). Иногда здесь делают что-то аналитическое, но в основном это теории, созданные для поддержки вычислительных подходов.

И, наконец, ваш последний вопрос: эти приблизительные методы (но все же ab initio — там нет экспериментальных параметров) действительно предсказывают такие вещи, как химические реакции, различные спектры и другие измеряемые величины; хотя точность проблематична. Биология в основном недосягаема из-за масштаба времени; по крайней мере, существуют гибридные методы, способные смешивать, например, классическую симуляцию движения белка с квантовой симуляцией сайта связывания, когда он достаточно сжат, чтобы могло произойти что-то вроде квантовой ферментативной реакции.

На более абстрактном уровне проблема заключается в линейности и нелинейности. Ряд линейных уравнений легко решить, и они всегда дают аналитический ответ. Однако нелинейные уравнения вызывают хаотическое поведение, которое в большинстве случаев нельзя обобщить.

Например, ньютоновская задача трех тел включает 2C3 = 3 нелинейных уравнения; нелинейность возникает из-за отношения r ² . А 3 нелинейных отношения — минимальное требование для хаотической системы.

Точно так же квантовая механика включает в себя большое количество нелинейных уравнений — при заданном наборе из 3 электронов каждый будет отталкивать друг друга через нелинейное соотношение, и с еще большей сложностью, чем ньютоновская проблема, где все известно и поддается определению.

Таким образом, простой ответ заключается в том, что проблема заключается в математике, которая не может быть решена для общего случая, вытекающего из физики, и что квантовый случай действительно хуже, чем классический.

В дополнение к тому, что сказал mbq , может быть интересно узнать, что вещи становятся действительно забавными в релятивистской квантовой механике, то есть с использованием уравнения Клейна-Гордона и Дирака (но без «второго» квантования квантовой теории поля ). Там есть одна волновая функция для каждого вида частиц , так что не важно, сколько частиц одного вида вы рассматриваете, единственное, что меняется, — это само поле. Вы получаете больше степеней свободы, только добавляя частицы другого типа. Конечно, поскольку для фермионов требуются спиноры , у вас могут возникнуть другие вычислительные проблемы...

Уравнение многих тел чрезвычайно трудно изучать как с классической, так и с квантовой механики. Покойный Джон Попл из Северо-Западного университета получил Нобелевскую премию в 1998 году за свои численные модели волновых функций атомов, разработав теоретическую основу для их химических свойств. Вот ссылка:

http://nobelprize.org/nobel_prizes/chemistry/laureates/1998/