Доказательство того, что exp(−βH)exp⁡(−βH)\exp(-\beta H) является ядерным оператором для гармонического осциллятора

Заметим, что из спектрального разложения$e^{-\beta H}$у нас есть это

$$e^{-\beta H} \psi - \sum_{n=0}^N e^{-\beta (n+1/2)}|n\rangle \langle n|\psi\rangle = \sum_{n=0}^{+\infty} e^{-\beta (n+1/2)}|n\rangle \langle n|\psi\rangle-\sum_{n=0}^N e^{-\beta (n+1/2)}|n\rangle \langle n|\psi\rangle= \sum_{n=N+1}^\infty e^{-\beta (n+1/2)}|n\rangle \langle n|\psi\rangle$$ для каждого вектора$\psi \in {\cal H}= L^2(\mathbb R,dx)$. Поэтому $$\left|\left|\left(e^{-\beta H} - \sum_{n=0}^N e^{-\beta (n+1/2)}|n\rangle \langle n|\right)\psi\right|\right| = \left|\left|\left(\sum_{n=N+1}^\infty e^{-\beta (n+1/2)}|n\rangle \langle n|\right)\psi\right|\right|\:.$$ Принимая$\sup$над набором единичных векторов в обе стороны, мы также имеем $$\left|\left|e^{-\beta H}- \sum_{n=0}^N e^{-\beta (n+1/2)}|n\rangle \langle n|\right|\right| = \left|\left| \sum_{n=N+1}^{+\infty} e^{-\beta (n+1/2)}|n\rangle \langle n|\right|\right|\:,$$ но с тех пор$|| e^{-\beta (n+1/2)}|n\rangle \langle n||| = e^{-\beta (n+1/2)}|| |n\rangle \langle n|||= e^{-\beta (n+1/2)}$, также получаем $$\left|\left|e^{-\beta H}- \sum_{n=0}^N e^{-\beta (n+1/2)}|n\rangle \langle n|\right|\right| \leq \sum_{n=N+1}^{+\infty} \left|\left|e^{-\beta (n+1/2)}|n\rangle \langle n|\right|\right|= \sum_{n=N+1}^{+\infty}e^{-\beta (n+1/2)} = e^{-\beta/2}\sum_{n=N+1}^{+\infty}(e^{-\beta})^n\to 0$$ если$N\to +\infty$потому что $$\sum_{n=0}^{N}(e^{-\beta})^n \to \frac{1}{1-e^{-\beta}}\quad \mbox{if $N \to +\infty$}\:.$$ Поэтому$e^{-\beta H}$является пределом относительно равномерной операторной топологии последовательности компактных операторов $$A_N = \sum_{n=0}^N e^{-\beta (n+1/2)}|n\rangle \langle n|$$ $A_N$компактен, так как имеет конечный ранг . Это стандартный результат о компактных операторах. (См. объяснение ниже.)

Так как идеал компактных операторов замкнут в$\mathfrak B(\cal H)$относительно этой топологии,$e^{-\beta H}$так же компактен.

Компактность операторов конечного ранга . Компактность для оператора$T$, означает, что он переводит единичный шар в множество, замыкание которого компактно. Если$Ran(T)$имеет конечную размерность, единичный шар$B$отправляется на ограниченное множество ($||T(B)|| \leq ||T|| 1$) в замкнутом подпространстве, которое можно отождествить с$\mathbb C^{\dim(Ran(T))}$. Поскольку замкнутые ограниченные множества в$\mathbb C^n$компактны,$\overline{T(B)}$компактен в этом пространстве. Из абстрактных свойств компактности (множество компактно в топологическом пространстве тогда и только тогда, когда оно компактно в содержащем его подтопологическом пространстве) следует, что$\overline{T(B)}$также компактен во всем гильбертовом пространстве.

ЗАМЕЧАНИЕ . я подчеркиваю, что

$$\sum_{k=0}^n \frac{(-\beta H)^k}{k!} \not \to e^{-\beta H}\quad \mbox{for $n \to +\infty$}$$ если предел относится к однородной топологии . Предел верен только в сильной операторной топологии , когда область определения обеих сторон ограничена промежутком векторов$|n\rangle$, но этого ни в коем случае недостаточно, чтобы сделать вывод. В частности, операторы $$\sum_{k=0}^n \frac{(-\beta H)^k}{k!}$$ не компактны, так как они даже не ограничены! Итак, ваша идея не работает в том виде, в каком она есть, но ее необходимо изменить, как я указал.