Оснащенное гильбертово пространство и КМ

Я не знаю ни одной книги, в которой используется исключительно этот язык, но основная идея довольно проста:

Все гильбертовы пространства изоморфны (если их размерности совпадают). Это создало бы концептуальные проблемы в квантовой механике, если бы мы когда-либо говорили только о гильбертовом пространстве; как мы могли их различить? Но это нормально, потому что на самом деле нас интересует гильбертово пространство.$\mathcal{H}$снабженный алгеброй операторов$\mathcal{A}$.

Например, реальная разница между$\mathcal{H} = L^2(\mathbb{R})$а также$\mathcal{H} = L^2(\mathbb{R}^3)$: Когда мы говорим о бывшем, мы говорим о$L^2(\mathbb{R})$с естественным действием одномерной алгебры Гейзенберга$\mathcal{A}_1$(создано$P$а также$Q$такой, что$[Q,P] = i\hbar$). Когда мы говорим о последнем, мы говорим о гильбертовом пространстве с естественным действием трехмерной алгебры Гейзенберга$\mathcal{A}_3$.

Ни одна из алгебр фактически не действует на всю совокупность$\mathcal{H}$.$(Q\psi)(x)= x\psi(x)$не обязательно лежит в$L^2$. Точно так же действие оператора дифференцирования$P = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$на векторе$v \in \mathcal{H}$не определяется, если$v$не является дифференцируемой функцией. А также$P^2$определяется только на дважды дифференцируемых функциях. Однако есть некоторые функции, на которые действие любой мощности$P^nQ^m$определяется: если$v$и все его производные обращаются в нуль на бесконечности быстрее, чем любой полином, действие любого элемента$\mathcal{A}_1$определено. Так же,$\mathcal{A}_3$действительно действует на съемочной площадке$\mathcal{S}$функций в$L^2(\mathbb{R}^3)$все частные производные которого достаточно быстро обращаются в нуль на бесконечности.

В общем, если у вас есть гильбертово пространство и алгебра$\mathcal{A}$операторов с непрерывным спектром существует максимальное подпространство$\mathcal{S} \subset \mathcal{H}$на котором$\mathcal{A}$действует. Это подпространство$v \in \mathcal{H}$для которого$av$определяется и$||a v|| < \infty$для любого$a \in \mathcal{A}$. Оно называется пространством гладких векторов для$\mathcal{A}$. (Упражнение:$\mathcal{S}$плотный в$\mathcal{H}$.)

$\mathcal{S}$получает топологию, будучи подпространством$\mathcal{H}$, но на самом деле имеет гораздо более сильную топологию из семейства полунорм$v \mapsto ||a v||$(за$a \in \mathcal{A}$). Эта топология делает его ядерным векторным пространством.

Данный$\mathcal{S} \subset \mathcal{H}$, вы можете построить пространство$\mathcal{S}^* \supset \mathcal{H}$непрерывных (относительно ядерной топологии) комплексно-линейных линейных функционалов на$\mathcal{S}$. (Здесь мы используем теорему Рисса о представлении, чтобы идентифицировать$\mathcal{H}$с его двойным$\mathcal{H}^*$.) Это пространство следует рассматривать как пространство бюстгальтеров в смысле Дираковского бюстгальтера. Бюстгальтер _ $\langle x |$это линейная функция, которая отображает$\psi \in \mathcal{S}$к$\psi(x) =\langle x | \psi \rangle$, она же дельта-функция Дирака$\delta_x$при поддержке$x$. (Пространство кетов — это сопряженное пространство, состоящее из сопряженно-линейных функционалов на$\mathcal{S}$. Кет$|x \rangle$отображает состояние$\psi \in \mathcal{S}$к$\psi^*(x) = \langle \psi| x\rangle$.)

Это пространство$\mathcal{S}$заслуживает внимания, поскольку придает строгое значение идее о том, что элементы$\mathcal{A}$с непрерывным спектром имеют собственные векторы, и что вы можете расширить некоторые состояния в этих собственных базах. Элементы алгебры$\mathcal{A}$не может иметь собственных векторов в$\mathcal{H}$если они имеют непрерывный спектр. Но у них есть собственные векторы в пространстве бюстгальтеров. Определение представляет собой стандартный трюк с расширением по двойственности:$v \in \mathcal{S}^*$является собственным вектором$a \in \mathcal{A}$с собственным значением$\lambda$если$(av)(\psi) = \lambda v(a^*\psi)$для всех$\psi \in \mathcal{S}$. (Упражнение:$\langle x|$это собственная бра с собственными значениями$x$оператора позиции$Q$.)

Тройка$(\mathcal{S}, \mathcal{H}, \mathcal{S}^*)$является оснащенным гильбертовым пространством. Язык оснащенных гильбертовых пространств был изобретен, чтобы отразить идеи, которые я изложил выше: гладкие векторы алгебры операторов с непрерывным спектром и двойственное векторное пространство, в котором живут собственные базы этих операторов. Язык на самом деле очень хорошо соответствует физике — особенно формализм скобок — но он обеспечивает уровень точности, который на самом деле не нужен для большинства вычислений (например, для арифметики с плавающей запятой).

Примеров оснащенных гильбертовых пространств, подробно рассмотренных в литературе, не так уж много. Я планирую написать статью о приближении к шредингеровскому атому водорода с помощью фальсифицированного гильбертова пространства. Вы можете использовать докторскую диссертацию Рафаэля де ла Мадрида ( http://galaxy.cs.lamar.edu/~rafaelm/dissertation.html ) и все статьи здесь: https://scholar.google.com/citations?user =OqTexTYAAAAJ&hl=ru