Можно ли рассматривать собственные состояния гильбертова пространства как дельта-функции?

Но можно ли рассматривать собственные состояния наблюдаемой позиции по отдельности как дельта-функции?

Да, в некотором смысле могут, но это довольно неточно. Во-первых, кеты и функции (дистрибутивы) — это несколько разные вещи, хотя они и разделяют большинство своих свойств. Если кет$|x'\rangle$удовлетворяет

$$\hat{x} |x'\rangle = x' |x'\rangle,$$ то мы говорим, что этот кет является обобщенным собственным вектором оператора $\hat x$.

Этот кет может быть представлен в пространстве распределений по координате$x$по дельта-распределению, расположенному в$x'$, так как в дистрибутивном смысле

$$x \delta(x-x') = x'\delta(x-x'),$$ которое имеет ту же структуру, что и уравнение выше. Разница между этими двумя уравнениями в том, что первое формулируется без использования какой-либо специальной координаты; ни один $x$, ни $p$используется. Вторая используемая координата $x$. Так что кеты и дистрибутивы — это не одно и то же; кеты можно рассматривать как «бескоординатную» нотацию для распределений.

Краткое примечание к использованию слова «собственное состояние» в этом контексте: дельта-распределение не нормализуется и, следовательно, не принадлежит множеству распределений, описывающих физическое состояние в смысле интерпретации Борна. Так что называть его или соответствующий кет не очень хорошо$|x'\rangle$собственное состояние оператора положения. Лучше называть это «неправильной собственной функцией» или «неправильным собственным вектором».

Не означает ли это также, что у нас есть бесконечное число собственных состояний дельта-функции в наблюдаемом пространстве?

Существует бесконечное количество различных дельта-распределений, определенных на$x$. Но они не «государства»; они не принадлежат гильбертовому пространству$L^2(R)$.

В общем, предположим, что$\mathcal{H}$является сепарабельным гильбертовым пространством и что$A:\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$является линейным оператором. Гильбертово пространство$\mathcal{H}$будучи сепарабельным, допускает счетную базу, которую мы можем записать как$\eta_i$с$i\in\mathbb{Z}$(это не обязательно$\delta$функции, о которых вы говорите, но$\mathcal{H}$сепарабельность изоморфна$\ell^2(\mathbb{Z})$, и в этом случае каждый$\eta_i$может быть отображен на$\delta_j\in\ell^2(\mathbb{Z})$, где$\delta_j$,$j\in \mathbb{Z}$, честны$\delta$функции.

Теперь предположим, что$A$допускает собственные векторы$e_j\in \mathcal{H}$,$j\in\mathbb{Z}$, так что выполняется следующее.

1)$\{e_j\}_{j\in\mathbb{Z}}$линейно независимы (в том смысле, что любое конечное подмножество образует множество линейно независимых векторов.

2)$\{e_j\}_{j\in\mathbb{Z}}$полно в том смысле , что множество всех конечных линейных комбинаций элементов из$\{e_j\}$образует плотное подмножество$\mathcal{H}$.

Тогда мы видим, что$\{e_j\}$образует полную основу$\mathcal{H}$. После нормализации каждого$e_j$(или мы можем считать, что они уже нормализованы) теперь мы можем унитарно отображать все в$\ell^2(\mathbb{Z})$, по отображению$e_j$на$\delta_j$. Это возможно тогда и только тогда, когда выполняются условия (1) и (2).

Другими словами: каждый линейный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве может быть унитарно отображен в оператор в$\ell^2(\mathbb{Z})$. В этом случае, если оператор допускает множество собственных векторов, образующих полный базис, то это множество может быть отображено на честные дельта-функции оператора$\ell^2(\mathbb{Z})$.

Конечно, если условие (2) ослаблено, то вместо этого можно рассмотреть подпространство исходного гильбертова пространства, которое является замыканием множества всех конечных линейных комбинаций собственных векторов. Оператор также должен был бы быть ограниченным (что эквивалентно, непрерывным) для перехода от плотного подмножества к его замыканию.

Итак, общее наблюдаемое действие на$|x\rangle$не дам тебе$x' |x\rangle$. Только позиционный оператор, действующий на состояние$|x'\rangle$даст нам$x'|x'\rangle$, где x' — это метка состояния, думайте об этом как о числе, а не о переменной. Просто потому, что государство$|x'\rangle$является собственным состоянием оператора положения, это не означает, что оно обязательно является собственным состоянием любого другого общего оператора.

$|x'\rangle$является состоянием, мы хотим, чтобы оно было собственным состоянием положения. Это означает, что если у меня есть частица в состоянии$|x'\rangle$, то волновая функция, записанная как функция положения, лучше выглядит как дельта-функция вокруг точки$x'$. Но помните, что я мог бы также записать волновую функцию как функцию импульса или другого оператора. Заявление

$$\langle y|x \rangle = \delta(x-y)$$

говорит именно это. Думать о$\langle y|$как функция, которая принимает вектор и дает вам число, это число является значением волновой функции состояния, представленного$|x'\rangle$записывается как функция положения в точке$x'$.

Если мы хотим думать о пространстве как о непрерывном, то нам нужно, чтобы каждая точка была собственным состоянием оператора положения. Точно так же, как в классической физике существует бесконечное количество точек в пространстве, в квантовой механике существуют бесконечные собственные состояния дельта-функции оператора положения. Но в квантовой механике вы думаете о функции$y(x)$вместо этого с точки зрения векторов, так что условно

$$y(x) = \langle y | x \rangle .$$

Да, именно поэтому мы можем использовать нотацию Дирака, чтобы говорить о функциях.