От спектральной теоремы к соотношению полноты в квантовой механике

Спектральная теорема состоит в том, что если$A: D(A) \to {\cal H}$является самосопряженным оператором, где$D(A) \subset {\cal H}$является плотным подпространством, то существует единственная проекторнозначная мера$P^{(A)}$на борелевских множествах$\mathbb{R}$такой, что

$$A = \int_{\mathbb R} \lambda dP^{(A)}(\lambda)\:.$$ Как следствие (это следствие или определение в зависимости от процедуры) $$f(A) = \int_{\mathbb R} f(\lambda) dP^{(A)}(\lambda) \tag{1}$$ для каждого$f: {\mathbb R} \to {\mathbb C}$Измеримый по Борелю. Принимая$f(x) =1$для всех$x\in {\mathbb R}$у нас есть $$I = \int_{\mathbb R} dP^{(A)}(\lambda)\:.$$ Для самосопряженных операторов, допускающих гильбертов базис собственных векторов$\psi_{\lambda, d_\lambda}$,$\lambda \in \sigma_p(A)$и$d_\lambda$учет размерности собственного пространства с собственным значением$\lambda$, приведенное выше тождество гласит (со ссылкой на сильную операторную топологию) $$f(A) = \sum_{\lambda, d_\lambda} f(\lambda) |\psi_{\lambda, d_\lambda}\rangle\langle \psi_{\lambda, d_\lambda} |\:, \tag{2}$$ с особым случаем $$I = \sum_{\lambda, d_\lambda} |\psi_{\lambda, d_\lambda}\rangle\langle \psi_{\lambda, d_\lambda} |\:. \tag{3}$$ Таким образом, уравнения (1) и (2) являются центральными тождествами, уравнение (3) является лишь частным случаем.

Учитывая ортонормированный полный базис$\{\psi_n\}_{n \in \mathbb N} \subset {\cal H}$, всегда можно определить ad hoc самосопряженный оператор$A$(без физического смысла вообще) для реализации приведенных выше тождеств:

$$A = \sum_{n \in \mathbb{N}} \lambda_n |\psi_{n}\rangle\langle \psi_{n} |$$ для заданного произвольного выбора действительных чисел$\lambda_n$. Домен$A$является $$\left\{\psi \in {\cal H} \: \left| \: \sum_{n} |\lambda_n|^2 |\langle \psi_n| \psi \rangle|^2 < +\infty\right. \right\}$$