Гравитационная потеря PE v Эластичная PE, увеличенная в массе - пружина

В SHM нет демпфирования, поэтому колебания будут продолжаться вечно. Чтобы привести систему в равновесие, потребуется внешняя сила, и энергия, накопленная в пружине, будет рассеиваться, чтобы преодолеть эту силу. Энергия mgx, где x - это точка равновесия, в которую система была приведена внешней силой, равна 1/2 kx^2 (запасенная в пружине) + энергия, рассеиваемая для прекращения колебаний. Расстояние h, на котором энергия mgh полностью преобразуется в Энергия пружины 1/2kh^2 — это точка, в которой масса находится на максимальном расстоянии от равновесия и мгновенно находится в состоянии покоя непосредственно перед изменением направления. Но это не равновесие, и здесь mgis не = kh.

То, что вы обнаружили, является причиной колебаний!

Назовем положение, в котором струна не натянута$x=0$. Предположим, мы просто удерживаем мяч в этой позиции. Полная энергия шара в этот момент равна$0$в наших конвенциях.

Теперь мы оставляем его и позволяем ему идти вниз. Силы уравновешиваются в$x_{eq} = - \tfrac{mg}{k}$. И, как вы правильно заметили, потенциальная энергия мяча в этой точке равна

Ответ таков: остальная часть энергии находится в кинетической энергии в этой точке. Скорость в этой точке будет иметь правильное значение, такое, что$\tfrac{1}{2} m v_{eq}^2 = \tfrac{1}{2} k x_{eq}^2$, и поэтому мяч продолжает опускаться, несмотря на то, что силы уравновешены.

Теперь потенциальная путаница заключается в том, что мяч в конечном итоге остановится, так где же тогда энергия. Ответ здесь — диссипация: должна быть какая-то сила, гасящая колебания, иначе они никогда не прекратятся и энергия всегда будет$0$.

Есть альтернативная картина, в которой вы никогда не позволяете мячу набирать скорость, помещая под ним сцену и медленно перемещая сцену вниз. У меня нет до конца ясного понимания этого, но я думаю, что сцена каким-то образом съедает разницу в энергии. Несколько проще случай, когда вы перемещаете сцену не непрерывно, а маленькими дискретными шагами; тогда ясно, что на каждом шаге ступень потребляет достаточно энергии, чтобы погасить колебания. Я не понимаю предела этого дискретного процесса, так как размер шага достигает$0$, но это все, что нужно понять.

В сторону: тот факт, что полная энергия в конце, когда мяч останавливается в точке равновесия, отрицательна, является в некотором роде теоремой вириала классической механики . Я не распаковал, как именно, но позвольте мне немного конкретизировать аналогию в уме; если кто-то может сказать это точнее, пожалуйста, отредактируйте этот ответ.

Классический пример теоремы вириала — планета, вращающаяся вокруг звезды. В этом случае гравитационная потенциальная энергия равна$-2$раз больше кинетической энергии вращения. Если вы сосредоточитесь только на радиальном направлении, это будет ужасно похоже на то, что центробежная сила отталкивает звезду, а гравитационная энергия толкает ее к ней. Аналогия с центробежной силой$\leftrightarrow$ $mgx$и гравитационная сила$\leftrightarrow \tfrac{1}{2} k x^2$, как это ни парадоксально.

Шаг 1 на пути к точности — заметить, что гравитационная сила$\tfrac{G M m}{r^2}$можно расширить для малых перемещений --- так что$r=r_0 + \delta r$--- как$\tfrac{G M m}{r_0^2} (1 - 2 \delta r)$, дающая линейную силу. Я не знаю, как думать о центробежной силе.

Благодарности за обсуждение: пользователь 128785 и еще один друг, которого нет на бирже stakc.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Оказывается, Тимей сначала сказал то же самое. Извиняюсь за повтор.

Разве гравитационная потенциальная энергия, теряемая массой, должна равняться упругой потенциальной энергии, приобретаемой пружиной?

Напротив, если что-то упало, не означает ли это, что оно приобрело некоторую нисходящую скорость и, следовательно, изменение кинетической энергии должно быть связано с чистой работой, проделанной над объектом?

Вот предупреждение. Допустим, вы измерили k, g и m. Не кладите ничего ценного на расстояние x ниже исходного положения пружины, где kx=mg. Потому что тот факт, что сила равна нулю в этой точке, не означает, что объект не будет продолжать двигаться, если у него будет какая-то скорость.

Кинетическая энергия может быть устранена из этой проблемы с помощью следующей установки. Пусть масса сидит на регулируемой по высоте платформе и прикреплена к пружине, но еще не растягивает ее. Я начинаю медленно снижать высоту сцены, так что масса начинает растягивать пружину. Масса будет растягивать пружину до тех пор, пока силы пружины и веса не компенсируют друг друга, т.е.$mg=kx$, после чего он потеряет контакт со сценой и будет подвешен только к пружине; за этой точкой не будет движения и, следовательно, не будет кинетической энергии.

Люди, которые не согласны с приведенным выше аргументом, могут думать о удлинении провода, присоединенного к массе аналогичным образом, в рамках режима закона Гука. Массу на конце проволоки ШМ не выполняют.

Потенциальную энергию следует рассматривать отдельно от силы в точке . Это очень важно. Потенциальная энергия получается путем интегрирования силы по смещению, поэтому подстановка равенства сил в любой точке в ответ, полученный путем интегрирования той же силы по смещению, явно даст вам такое противоречие!

Вы можете увидеть это противоречие только математически. Пусть есть две функции$f_{1}(x)$и$f_{2}(x)$; теперь, даже если

Почему, спросите вы? Потому что на самом деле они не равны для большей части интеграла (т.е. области определения x). Причина, по которой пружина даже растягивается под весом груза, заключается в том, что$mg>kx \ \forall x\in [0,x_{f})$; если$mg=kx$были верны на каждом$x$, пружина вообще не растянулась!

Слишком длинный ответ для простой ошибки, но пусть это будет предостережением от слепой замены. :)