Переход гравитационной потенциальной энергии (GPE) в кинетическую энергию (KE) на спутниковых орбитах

Подсказки:

1. Между начальной и конечной периодическими орбитами не сохраняется механическая энергия из-за сгорания ракетного двигателя (ов) спутника.

2. Используйте, например, теорему вириала , которая говорит, что (усредненная по времени) кинетическая энергия равна минус половине (усредненной по времени) потенциальной энергии на периодической орбите.

Уравнение, которое вы представляете, верно для спутника на эллиптической орбите, в то время как ответ из прошлых экзаменов, безусловно, сравнивает KE круговых орбит с разным радиусом:

В случае эллиптической орбиты радиус меняется в каждый момент времени (поскольку центральное тело находится в фокусе эллипса, а траектория является эллипсом), но полная механическая энергия постоянна и определяется выражением

$E = KE + GPE = \frac{1}{2}mv^2-\frac{GMm}{r} = constant$.

Обратите внимание, что потенциальная энергия отрицательна, но все же увеличивается с высотой. Итак, сравнивая КЭ на одной и той же орбите в разные моменты времени, когда спутник находится в разных положениях (и так на разных расстояниях$r_1$и$r_2$из фокуса) просто приводит к выражению, которое вы представили; на начальном расстоянии$r_1$и конечное расстояние$r_2$, сохранение энергии приводит к:

$E=constant = \frac{1}{2}mv_1^2-\frac{GMm}{r_1}=KE_1 + GPE_1 = KE_2+GPE_2=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{GMm}{r_2}$

и так

$\Delta KE=KE_2-KE_1=-\Delta GPE=GPE_1-GPE_2=GMm(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2})$.

Иначе обстоит дело при сравнении различных круговых орбит. Для каждой круговой орбиты KE и GPE не меняются. В случае круговых орбит сила инерции просто центростремительна, и приравнивание ее к силе гравитации приводит к тому, что скорость просто определяется выражением

$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$(только круговые орбиты).

Итак, для двух орбит с разным радиусом$r_1$и$r_2$(и разные полные энергии) имеем:

$KE_1=\frac{1}{2}mv_1^2=\frac{1}{2}m(\sqrt{\frac{GM}{r_1}})^2$и$KE_2=\frac{1}{2}mv_2^2=\frac{1}{2}m(\sqrt{\frac{GM}{r_2}})^2$

и наконец

$\Delta KE=KE_2-KE_1=\frac{1}{2}GMm(\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_1})$

это "половина" ответа, который вы упомянули. Обратите также внимание на другой знак ответа по сравнению со случаем одной эллиптической орбиты.

Вы правы в том, что разница в потенциальной гравитационной энергии преобразуется в увеличение кинетической энергии. Однако вы неправильно рассчитали разницу в гравитационных, так как вы должны вычесть их друг из друга, а не из их радиусов. Также может помочь, если вы посмотрите на удельную орбитальную энергию . Также имейте в виду, что удельный относительный угловой момент сохраняется.

Для спутника на невозмущенной орбите изменение гравитационной потенциальной энергии равно изменению кинетической энергии.

Увеличение размера круговой орбиты требует энергии. Половина энергии используется для подъема спутника, а другая половина используется для ускорения спутника.

Для спутника на круговой орбите, возмущенной атмосферным сопротивлением, трение нагревает спутник и атмосферу и уменьшает радиус орбиты. Уменьшение радиуса орбиты высвобождает гравитационную потенциальную энергию. Половина выделяемой энергии идет на разгон спутника, другая половина теряется в виде тепла.