Почему у нас разные знаки перед дельтой в уравнениях функций Клейна-Гордона и Дирака Грина?

Возможно, ответ связан с тем, что пропагатор является обратным оператором Лагранжа.

Действие свободной теории может быть записано как

$$S[\psi ] = \int d^{4}x (\psi^{a})^{*}\Delta_{ab}\psi^{b}.$$ Здесь $()^{*}$означает спряжение, которое оставляет $(\psi^{a})^{*}\Delta_{ab}\psi^{b}$-форма лоренц-инвариантная. Например, $$S_{KG}[\varphi ] = \frac{1}{2}\int d^{4}x \left( (\partial_{\mu}\varphi )^{2} - m^{2}\varphi^{2}\right) = \frac{1}{2}\int d^{4}x \varphi (-\partial^{2} - m^{2}) \varphi ,$$ $$S_{D}[\bar{\psi}, \psi ] = \int d^{4}x \bar{\psi}(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m)\psi ,$$ $$S_{EM}[A] = \int d^{4}x \left( -\frac{1}{4}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu} - \frac{1}{2\alpha}(\partial_{\mu}A^{\mu})^{2}\right) =$$ $$=\frac{1}{2}\int d^{4}x A^{\mu} \left( \partial^{2}g_{\mu \nu} - \left[ \frac{1}{\alpha} - 1\right]\partial_{\mu}\partial_{\nu}\right)A^{\nu}.$$ Пропагатор — это обратный лагранжев оператор: $$D_{ab}(p) = \frac{1}{\Delta_{ab}(p)}.$$ Итак, теперь вы знаете, как получить знак в уравнении для пропагатора.

Может быть, вы хотите знать, как получить знак лагранжиана. Знак (в общем случае - масштабный множитель) лагранжевого оператора не влияет на уравнения движения (как и на поляризационное правило сумм$\sum_{s}u_{a}^{s}(u_{b}^{s})^{*}$определяется из уравнений движения только с точностью до масштабного коэффициента). Но это важно, поскольку определяет знак кинетической части в лагранжиане ($\bar{\psi}\gamma^{0}\partial_{0}\psi$для случая Дирака,$\partial_{0}A^{i}\partial_{0}A^{i}$в случае ЭМ,$(\partial_{0}\varphi)^{2}$в скалярном случае и т. д.). Это влияет на унитарность теории, поэтому, конечно, очень важно.