Связь между уравнениями Дайсона из разных задач

Question

Связь между уравнениями Дайсона из разных задач

Физика
распространитель
зеленые функции
квантовая механика
квантовая теория поля

Открытие

Недавно я заметил, что уравнение Дайсона

г "=" г_{0} + г_{0} Σ г

$G=G_0+G_0\Sigma G$ используется не только в квантовой теории поля, но и в некоторых других разделах физики. Например:

1. Волновое уравнение

Из волнового уравнения в случайной среде

л г (Икс, {Икс}_{0}) \equiv [Δ_{Икс} + к^{2} (1 + ϵ (Икс))] г (Икс, {Икс}_{0}) "=" дельта (Икс - {Икс}_{0})

$\mathcal{L}G(x,x_0)\equiv \left[\Delta_x+k^2 (1+\epsilon(x))\right]G(x,x_0)=\delta(x-x_0)$ и

л_{0} г_{0} (Икс, {Икс}_{0}) \equiv [Δ_{Икс} + к^{2}] г_{0} (Икс, {Икс}_{0}) "=" дельта (Икс - {Икс}_{0})

$\mathcal{L}_0G_0(x,x_0)\equiv\left[\Delta_x+k^2 \right]G_0(x,x_0)=\delta(x-x_0)$ , мы получаем

л_{0} г (Икс, {Икс}_{0}) "=" - к^{2} ϵ (Икс) г (Икс, {Икс}_{0}) + дельта (Икс - {Икс}_{0})

$\mathcal{L}_0G(x,x_0)=-k^2\epsilon(x)G(x,x_0)+\delta(x-x_0)$

г (Икс, {Икс}_{0}) "=" \int г {Икс}_{1} г_{0} (Икс, {Икс}_{1}) л_{0} г ({Икс}_{1}, {Икс}_{0}) "=" г_{0} (Икс, {Икс}_{0}) - \int г {Икс}_{1} г_{0} (Икс, {Икс}_{1}) к^{2} ϵ ({Икс}_{1}) г ({Икс}_{1}, {Икс}_{0})

$G(x,x_0)=\int dx_1\,\,G_0(x,x_1)\mathcal{L}_0G(x_1,x_0)=G_0(x,x_0)-\int dx_1\,G_0(x,x_1)k^2\epsilon(x_1)G(x_1,x_0)$ , которое, очевидно, имеет форму уравнения Дайсона.

2. Одночастичный пропагатор - 1

Позволять $U(t,t_0)$ оператор эволюции времени. Одночастичный пропагатор

К (Икс т; {Икс}^{'} т^{'}) "=" ⟨ Икс | U (т, т_{0}) | {Икс}^{'} ⟩

$K(xt;x't')=\langle x|U(t,t_0)|x'\rangle$ удовлетворяет следующим уравнениям:

[я ℏ \partial_{т} - ЧАС] К (Икс т; {Икс}^{'} т^{'}) "=" дельта (Икс - {Икс}^{'}) дельта (т - т^{'})

$\left[i\hbar\partial_t -\mathcal{H}\right]K(xt;x't')=\delta(x-x')\delta(t-t')$

[я ℏ \partial_{т} - {ЧАС}_{0}] К_{0} (Икс т; {Икс}^{'} т^{'}) "=" дельта (Икс - {Икс}^{'}) дельта (т - т^{'})

$\left[i\hbar\partial_t -\mathcal{H}_0\right]K_0(xt;x't')=\delta(x-x')\delta(t-t')$ где

H = H_{0} + V

$\mathcal{H}=\mathcal{H}_0+V$ . Эти уравнения математически идентичны приведенным выше волновым уравнениям, т.е.

G \leftrightarrow K, - k^{2} ϵ \leftrightarrow V

$G\leftrightarrow K,\,-k^2\epsilon\leftrightarrow V$ .

3. Одночастичный пропагатор - 2

Использование серии Dyson для $U$ в представлении взаимодействия,

U "=" 1 + \sum_{н "=" 1}^{\infty} \frac{1}{н!} {(- \frac{я}{ℏ})}^{н} \int \int \dots Т [В (т_{1}) \dots В (т_{н})]

$U=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}\left(-\frac{i}{\hbar}\right)^n\int\int\cdots \mathcal{T}\left[V(\tau_1)\cdots V(\tau_n)\right]$ , мы также можем получить уравнение Дайсона; строго говоря, мы можем получить расширение Дайсона

K

$K$ если мы итеративно расширим уравнение Дайсона:

K = K_{0} + K_{0} \sum (K_{0} + K_{0} \sum (\dots))

$K=K_0+K_0\sum(K_0+K_0\sum(\cdots))$ .

4. Функция Грина в физике конденсированного состояния.

При нулевой температуре случайная функция Грина имеет вид

я г_{α α^{'}} "=" \frac{⟨ ψ_{0} | Т U (\infty, - \infty) Ψ_{α} (Икс, т) Ψ_{α^{'}}^{†} ({Икс}^{'}, т^{'}) | ψ_{0} ⟩}{⟨ ψ_{0} | U (\infty, - \infty) | ψ_{0} ⟩}

$iG_{\alpha \alpha'}=\frac{\langle \psi_0|\mathcal{T}U(\infty,-\infty) \Psi_{\alpha}(x,t)\Psi_{\alpha'}^{\dagger}(x',t')|\psi_0 \rangle}{\langle \psi_0 |U(\infty,-\infty)|\psi_0 \rangle }$ и это не функция Грина в математическом смысле, т.е.

[i ℏ \partial_{t} - H_{0}] i G_{α α^{'}} \neq δ

$\left[i\hbar\partial_t -\mathcal{H}_0\right] iG_{\alpha \alpha'} \neq \delta$ . Действительно, невозмущенная функция Грина

i G_{0, α α^{'}}

$iG_{0,\alpha \alpha'}$ является математической функцией Грина. Использование расширения Dyson для

U

$U$ в картине взаимодействия и теореме Вика можно выразить

i G_{α α^{'}}

$iG_{\alpha \alpha'}$ с точки зрения

V

$V$ и

i G_{0, α α^{'}}

$iG_{0,\alpha \alpha'}$ . Известно, что такое выражение удовлетворяет уравнению Дайсона:

G = G_{0} + G_{0} \sum (G_{0} + G_{0} \sum (\dots))

$G=G_0+G_0\sum(G_0+G_0\sum(\cdots))$ .

Вопрос

Очевидно, что случаи 1 и 2 тесно связаны друг с другом. Корпуса 3 и 4 тоже связаны. Однако я не уверен, есть ли математическое объяснение того, почему расширение Дайсона (случай 3 и 4) приводит к результату, идентичному простой алгебре (случай 1 и 2).

Я думаю тот факт, что расширение Дайсона дает не само уравнение Дайсона $G=G_0+G_0\Sigma G$ но его итеративная версия $G=G_0+G_0\sum(G_0+G_0\sum(\cdots))$ будет подсказкой; но я не добился никакого прогресса до сих пор.

Ответы (1)

Связь между уравнениями Дайсона из разных задач

СуперЧокия · Answer 1

Функции Грина и пример 1

Во-первых, вы используете символ $G$ и $K$ в 1 и 2 для функций Грина .

Итак, давайте сначала определим функцию Грина как $G(t,u)$ такой как:

л г (т, ты) "=" дельта (т - ты),

$\mathcal{L}\,G(t,u) = \delta(t-u),$ где

L

$\mathcal{L}$ — линейный дифференциальный оператор, управляющий эволюцией системы.

Функция Грина используется при решении динамики $x(t)$ вызванный источником $f(u)$ путем интегрирования по нему:

л Икс (т) "=" \int г ты л г (т, ты) ф (ты) "=" \int г ты дельта (т - ты) ф (ты) "=" ф (т) .

$\mathcal{L}\,x(t) = \int \mathrm{d}u\,\mathcal{L}\,G(t,u)\, f(u) = \int \mathrm{d}u \ \delta(t-u)f(u) = f(t).$

Они широко используются в классической физике, например, в примере 1.

Пример 2 и квантовая механика

Квантовая механика (первое квантование) описывается уравнением Шрёдингера, т.е. просто линейным дифференциальным оператором $\mathcal{L}$ как выше. Точно так же имеем:

ф (Икс, т_{Икс}) "=" \int г у г^{+} (Икс, т_{Икс}, у, т_{у}) ф (у, т_{у}),

$\phi(x,t_x) = \int \mathrm{d}y\, G^+(x,t_x,y,t_y) \phi(y,t_y),$

где функция Грина $G^+$ распространяет частицу, описываемую волновой функцией $\phi$ , с позиции $y$ и время $t_y$ на позицию $x$ вовремя $t_x$ . $+$ знак состоит в том, чтобы предотвратить перемещение частиц назад во времени, поэтому технически $G^+ = \theta(t_x-t_y)G$ — запаздывающая функция Грина.

Отсюда связь между функцией Грина и пропагатором в квантовой механике. Как правило, распространитель $G^+$ можно написать:

г^{+} (Икс, т_{Икс}, у, т_{у}) "=" θ (т_{Икс} - т_{у}) ⟨ Икс (т_{Икс}) | у (т_{у}) ⟩,

$G^+(x,t_x,y,t_y) = \theta(t_x-t_y)\, \langle x(t_x) | y(t_y)\rangle,$ т.е. амплитуда вероятности того, что частица в состоянии

| y ⟩

$|y\rangle$ вовремя

t_{y}

$t_y$ заканчивает IP в состоянии

| x ⟩

$|x\rangle$ вовремя

t_{x}

$t_x$ .

Тот факт, что пропагатор отличен от нуля для причинно несвязанных событий, т. е. событий, которые пространственно-подобно разделены, является несостоятельностью первого квантования и необходимостью второго квантования (квантовая теория поля).

Уравнение Дайсона

Функция Грина в энергетической области может быть записана как:

г^{+} (Икс, у, Е) "=" \sum_{н} \frac{я ф_{н} (Икс) ф_{н}^{*} (у)}{Е - Е_{н}} \propto \frac{1}{Е - {ЧАС}_{0}} .

$G^+(x,y,E) = \sum_n \frac{i\phi_n(x) \, \phi_n^\ast (y)}{E-E_n} \propto \frac{1}{E-H_0}.$

легко обосновать, взяв уравнение Лапласа для электрического потенциала $\phi$ в вакууме $\nabla^2\phi = 0$ . Решение функции Грина $\epsilon_0 \nabla^2V(\mathbf{r}) = - \delta^{(3)}(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$ , решение которого, как вы знаете, является точечным зарядом с $V(\mathbf{r}) = 1/|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|$

Функции Грина позволяют нам интерпретировать проблему возмущения в терминах распространяющейся частицы. Возмущение прерывает распространение через процесс рассеяния, после чего возобновляется распространение свободной частицы.

Общий гамильтониан $H = H_0 + V$ разлагается на разрешимое решение, дающее пропагатор свободных частиц $H_0$ а в неаналитически разрешимом возмущении $V$ .

Функция Грина определяется выражением

г \propto \frac{1}{Е - ЧАС} "=" \frac{1}{Е - {ЧАС}_{0} - В},

$G \propto \frac{1}{E-H} = \frac{1}{E-H_0 -V},$ который можно было бы назвать полным пропагатором, чтобы отличить его от свободного пропагатора

G_{0} \propto 1 / (E - H_{0})

$G_0 \propto 1/(E-H_0)$ .

При пертурбативном подходе, когда $V \ll H_0$ , приведенное выше выражение можно записать в виде:

г "=" \frac{1}{Е - {ЧАС}_{0} - В} "=" \frac{1}{Е - {ЧАС}_{0}} + \frac{1}{Е - {ЧАС}_{0}} В \frac{1}{Е - В_{0}} + \frac{1}{Е - {ЧАС}_{0}} В \frac{1}{Е - В_{0}} В \frac{1}{Е - В_{0}} + \dots

$G = \frac{1}{E-H_0-V} = \frac{1}{E-H_0} + \frac{1}{E-H_0}V\frac{1}{E-V_0}+\frac{1}{E-H_0}V\frac{1}{E-V_0}V\frac{1}{E-V_0} + \dots$ или

г "=" г_{0} + г_{0} В г_{0} + г_{0} В г_{0} В г_{0} + \dots

$G = G_0 + G_0 V G_0 + G_0 V G_0 V G_0 + \dots$

который представляет собой геометрический ряд, переписанный как:

г "=" г_{0} (1 + В г_{0} + В г_{0} В г_{0} + \dots) "=" \frac{г_{0}}{1 - В г_{0}} "=" \frac{1}{г_{0}^{- 1} - В},

$G = G_0(1 + VG_0 + VG_0VG_0 + \dots) = \frac{G_0}{1-V G_0} = \frac{1}{G_0^{-1}-V},$

известное как уравнение Дайсона .

Пример 3

Уравнение Шредингера для общего гамильтониана $H$ является:

я ℏ \frac{г}{г} | ψ_{т} ⟩ "=" ЧАС | ψ_{т_{0}} ⟩ .

$i\hbar \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}}|\psi_t\rangle = H |\psi_{t_0}\rangle.$

⟹ | ψ_{т} ⟩ "=" U (т, т_{0}) | ψ_{т_{0}} ⟩,

$\implies |\psi_t\rangle = U(t,t_0) |\psi_{t_0}\rangle,$

где $U$ является оператором эволюции во времени.

В картине взаимодействия гамильтониан расщепляется между своей свободной частью $H_0$ и взаимодействующая часть $H'$ таким образом, что временная эволюция гамильтоновой картины взаимодействия $H_I$ дан кем-то $H_I(t) = e^{iH_0 t/\hbar}H'e^{-iH_0t/\hbar}$ .

Тогда оператор временной эволюции на этом рисунке становится $U_I = e^{iH_0t/\hbar}Ue^{-iH_0t/\hbar} и удовлетворяет следующему уравнению движения:

я ℏ \frac{г}{г т} U_{я} "=" {ЧАС}_{я} U_{я} .

$i\hbar \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}U_I = H_I U_I.$

Решение вышеизложенного:

U_{я} (т, т_{0}) "=" 1 - \frac{я}{ℏ} \int_{т_{0}}^{т} г т^{'} {ЧАС}_{я} (т^{'}, т_{0}) U_{я} (т^{'}, т_{0}),

$U_I(t,t_0) = 1 - \frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^t \mathrm{d}t' H_I(t', t_0)\,U_I(t', t_0) ,$

и его можно повторять, продолжая подставлять выражение для $U_I$ в интеграле:

U_{я} (т, т_{0}) "=" 1 - \frac{я}{ℏ} \int_{т_{0}}^{т} г т^{'} {ЧАС}_{я} (т^{'}, т_{0}) + {(- \frac{я}{ℏ})}^{2} \int_{т_{0}}^{т} г т^{″} \int_{т_{0}}^{т} г т^{‴} {ЧАС}_{я} (т^{″}, т_{0}) {ЧАС}_{я} (т^{‴}, т_{0}) + \dots

$U_I(t,t_0) = 1 - \frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^t \mathrm{d}t' H_I(t', t_0)\ + \left (-\frac{i}{\hbar} \right )^2 \int_{t_0}^t \mathrm{d}t'' \int_{t_0}^t \mathrm{d}t''' H_I(t'', t_0)\,H_I(t''', t_0) +\dots$

Возвращаясь к $U = e^{-iH_0t}U_Ie^{iH_0t}$ , идентификация $G_0 = e^{iH_0t}$ и $H_I = V$ , мы получаем уравнение Дайсона согласно пункту выше.

Следовательно $U$ также называется оператором Дайсона , а пертурбативное расширение известно как ряд/расширение Дайсона .

Оператор заказа времени $T$ также следует добавить.

Квантовая теория поля и пример 4

В то время как пропагатор первого квантования совпадает с функцией Грина, при втором квантовании пропагатор называется таковым только по аналогии.

Действительно:

г^{+} (Икс, у) "=" θ ({Икс}^{0} - у^{0}) ⟨ Ом | \hat{ф} (Икс) {\hat{ф}}^{†} (у) | Ом ⟩,

$G^+(x,y) = \theta(x^0 - y^0) \langle \Omega| \hat{\phi}(x)\hat{\phi}^\dagger (y) |\Omega \rangle,$ где

| Ω ⟩

$|\Omega\rangle$ взаимодействующий вакуум,

x

$x$ и

y

$y$ теперь являются четырехвекторами в пространстве-времени, и

\hat{ϕ^{†}} (y)

$\hat{\phi^\dagger}(y)$ оператор поля, создающий частицу в точке

(y^{0}, y)

$(y^0, \mathbf{y})$ .

Ваше выражение только что получено, требуя перекрытия $A$ между входящим и исходящим состоянием, которое должно быть выражено в терминах свободных, невзаимодействующих состояний:

А {"="}_{я н т е р а с т я н г} ⟨ д | п ⟩_{я н т е р а с т я н г} {"="}_{ф р е е} ⟨ д | С | п ⟩_{ф р е е},

$A = _{\mathrm{interacting}}\langle q|p\rangle_{\mathrm{interacting}} = _{\mathrm{free}}\langle q|S|p\rangle_{\mathrm{free}},$ с

S

$S$ является матрицей рассеяния.

Матрица рассеяния $S$ связано с оператором эволюции $U$ выше по $S = \lim_{t\rightarrow \infty, t_0 \rightarrow -\infty} U(t,t_0)$ .

Связь между уравнениями Дайсона из разных задач

Открытие

1. Волновое уравнение

2. Одночастичный пропагатор - 1

3. Одночастичный пропагатор - 2

4. Функция Грина в физике конденсированного состояния.

Вопрос

Ответы (1)

СуперЧокия

Функции Грина и пример 1

Пример 2 и квантовая механика

Уравнение Дайсона

Пример 3

Квантовая теория поля и пример 4

Почему функция Грина будет расходиться в одной и той же точке пространства-времени?

Два определения функции Грина

В чем смысл пропагатора Фейнмана для управляемого квантового гармонического осциллятора?

Как найти функции Грина для нестационарного неоднородного уравнения Клейна-Гордона?

Интуиция для пропагаторов со спином 1/2 и 1

Что на самом деле означает вычислять вещи на уровне дерева?

Вычисление функции Грина теории взаимодействующего поля

Как интерпретировать корреляционные функции в QFT?

свободная диффузия частиц Функция Грина

Как именно пропагатор является функцией Грина для уравнения Шрёдингера?