Два выражения для ожидаемого значения энергии

Перво-наперво: оператор, который соответствует энергии, — это гамильтониан, обычно записываемый как$H$. Поэтому, когда вы хотите получить ожидаемое значение энергии, вы оцениваете$\langle H\rangle$.

Теперь есть несколько способов сделать это. Один из способов - использовать уравнение Шредингера, чтобы получить

$$\langle H\rangle = \left\langle i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\right\rangle = \int\Psi^*(x,t) i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t)\,\mathrm{d}x\tag{1}$$

Этот расчет является полностью общим, т. е. он действителен в любой ситуации, для которой применимо уравнение Шредингера.

Другой способ получить$\langle H\rangle$заключается в использовании определения оператора Гамильтона, который в нерелятивистской КМ равен

$$H = \frac{p^2}{2m} + V(x,t) = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x,t)$$

Это дает вам

$$\begin{align}\langle H\rangle &= \biggl\langle -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x,t)\biggr\rangle \\ &= \int\Psi^*(x,t)\biggl(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x,t)\biggr)\Psi(x,t)\,\mathrm{d}x\tag{2}\end{align}$$

Либо (1), либо (2) работает в целом.

Только для свободной частицы потенциал$V(x,t)$равен нулю, и вы получаете

$$\langle H\rangle = \int\Psi^*(x,t)\biggl(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\biggr)\Psi(x,t)\,\mathrm{d}x$$

это выражение, которое вы видели на этой веб-странице.

Во-первых, есть некоторые очень вводящие в заблуждение ответы, данные выше. Вводные квантовые курсы не могут должным образом обсуждать «время». Это параметр, а не наблюдаемая величина. E(оператор)=ih(бар) d/dt не имеет значения. Этот оператор просто описывает временную эволюцию сложной волновой функции. Таким образом, он не описывает физическую наблюдаемую. Я знаю, что это может быть трудно проглотить из-за соотношения неопределенности между временем и энергией. Но не заблуждайтесь, «время», обсуждаемое в принципе неопределенности, — это скорее интервал, а не наблюдаемая величина. Может быть, легче понять, что я имею в виду, задумавшись над вопросом: когда наступает нулевая точка времени? Мы не можем установить его так же, как можем установить пространственное происхождение. Таким образом, для расчета среднего значения энергии требуется использование гамильтониана.

Во-вторых, обозначения. "=" Любой приемлем.

Третий прочь. Свободная частица действительно сложна. Единственное собственное состояние не является физически реализуемым состоянием. Физически реализуема только линейная комбинация. Это может показаться неточным в том смысле, что V=0 и в бесконечном колодце, но эти состояния физически реализуемы. Следует отметить, что яма состоит из связанных состояний, где индекс собственных состояний дискретен (то есть: n=1,2,3,...), а свободная частица состоит из состояний рассеяния, где индекс для собственных состояний собственные состояния непрерывны (то есть: n = любые и ВСЕ действительные числа). В результате возникает преобразованная Фурье волновая функция.

Как отмечается в ответе Дэвида, эти два выражения верны. Они должны быть равны друг другу во всех случаях. Для конкретного случая вы можете убедиться, что они равны друг другу, фактически работая над обоими. В качестве дополнения к ответу Дэвида я подумал, что рассмотрю этот конкретный случай.

Я собираюсь обмануть, потому что знаю, что волновая функция свободной частицы$\Psi(x,t) = A\exp(-iEt/\hbar)\exp(i\sqrt{2mE}x/\hbar)$. Возьмем соответствующие производные:

$$\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t) = (-iE/\hbar) \Psi(x,t)$$ $$\frac{\partial^2}{\partial x^2} \Psi(x,t) = (i\sqrt{2mE}/\hbar)^2\Psi(x,t) = (-2mE/\hbar)\Psi(x,t)$$ Вставьте их в ваши два выражения для $\langle E \rangle$; все константы будут отменены, давая вам $\langle E \rangle = E\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\Psi^*\Psi\,dx = E$для обоих.