Каков разумный «перевод» уравнения Шредингера?

Следует помнить, что вывод уравнения Шрёдингера довольно эвристичен, и правила вроде

$$\begin{align} E\to \hat H&=i\hbar \frac{\partial }{\partial t} \tag{1} \\ p\to \hat p&=-i\hbar \frac{\partial }{\partial x}\tag{2} \end{align}$$ были впервые «обоснованы» с использованием плоских волн, поскольку эмпирически верно, что частицы действительно проявляют волновое поведение. Таким образом, используя соотношения Эйнштейна и де Бройля $E=\hbar \omega$и $p=\hbar k$в выражении плоской волны $$\Psi(x,t)=A e^{i(px-Et)/\hbar}$$
можно восстановить энергию и импульс плоской волны, взяв соответствующие производные, а затем «вынеся» $\Psi(x,t)$: $$\begin{align} \hat H\Psi(x,t)&=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi(x,t)=E\Psi(x,t)\, ,\\ \hat p\Psi(x,t)&=-i\hbar\frac{\partial }{\partial x}\Psi(x,t)=p\Psi(x,t)\, . \end{align}$$
В этом смысле правила (1) и (2) — всего лишь «трюки» для восстановления $E$и $p$от $\Psi(x,t)$с помощью производных операторов. Уловки заключают в себе наблюдения, что для плоских волн (выраженных в виде комплексных экспонент) скорость изменения во времени $\Psi(x,t)$связана с энергией, а скорость изменения в пространстве $\Psi(x,t)$связано с импульсом.

Может быть, сюрпризом является то, что правила уравнений (1) и (2), полученные для плоских волн, остаются в силе, даже если включить потенциал$V(x)$(и, таким образом, решения больше не являются плоскими волнами). В этом случае проще всего распространить производные правила (1) и (2) на полное уравнение Шредингера с потенциалом

$$i\hbar\frac{\partial }{\partial t}\Psi(x,t)= -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi(x,t)+V(x)\Psi(x,t)\, . \tag{3}$$ так что это становится совместимым с утверждением, что полная энергия системы есть сумма кинетической плюс потенциал: $$E=\frac{p^2}{2m}+V(x)\, .\tag{4}$$

Используя стандартное разделение переменных для (3), «уловка» для получения энергии состояния по-прежнему заключается в применении производной по времени к решениям вида$\Psi(x,t)=e^{iEt/\hbar}\psi(x)$где$\psi(x)$теперь удовлетворяет независимому от времени уравнению Шредингера, которое в конечном счете является выражением (4):

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\psi(x)+V(x)\psi(x)=E\psi(x)\, .$$

Трудность в том, что$\Psi(x,t)$не имеет прямого физического истолкования (поскольку является сложным). Физически значимая величина$\Psi(x,t)\Psi(x,t)^*$; для решений фиксированной энергии зависимость от времени исчезает (это стационарные решения). Если$\Psi(x,t)$не имеет факторизованной формы$e^{-iEt/\hbar} \psi(x)$тогда производная по времени от$\Psi(x,t)$не пропорциональна самой себе, и связь между производной по времени и энергией теряется: это неудивительно, поскольку такие типы решений не интерпретируются как имеющие определенную энергию.