Энергетический оператор

Я сформулирую следующее таким образом, чтобы язык не слишком изменился в ответе. Это также подчеркивает аналогии родственных понятий.

• Классически у вас есть конфигурация/состояние$\Psi$, который характеризуется координатами$x^i,v^i$или$q^i,p_i$и/или любые другие соответствующие параметры. Тогда энергия является функцией или функционалом этой конфигурации

  $$H:\Psi\mapsto E_\Psi,\ \ \mbox{where}\ \ E_\Psi:=H[\Psi].$$

  Здесь$E_\Psi$некоторое реальное (энергетическое) значение, связанное с конфигурацией$\Psi$.

  Чтобы назвать пример: Пусть$q$и$p$быть координатами вашего двумерного фазового пространства, то каждая точка$\Psi=(q,p)$характеризует возможную конфигурацию. Конфигурация/состояние$\Psi$здесь действительно просто пара координат. Скалярная функция$H(p,q)=\frac{1}{2m}p^2+\frac{\omega}{2}x^2$ясно, что это карта, которая присваивает скалярное значение энергии$E_\Psi$во всех возможных конфигурациях$\Psi$.

  Эволюция$\Psi$во времени определяется$H$, см. Уравнения Гамильтона. Это можно рассматривать в первую очередь как точку придумывания гамильтониана, и обычно это делается таким образом, что значение энергии$E_\Psi$не изменится со временем. См. также эту тему для связанного вопроса. То, что вы называете «энергией», в значительной степени определяется этим критерием. В случае независимого от времени гамильтониана (как в примере) и если развитие наблюдаемых во времени$f$регулируется$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} = \{f, H\} + \frac{\partial f}{\partial t}$, то у вас есть$\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t} = \{H, H\} = 0$и сохранение количества$E_\Psi:=H[\Psi]$очевидно. Конечно, вы можете захотеть смоделировать процессы трения и тому подобное, и тогда может быть сложно определить все соответствующие величины.

• В квантовой механике ваша конфигурация$\Psi$задается вектором состояния$|\Psi\rangle$(или класс эквивалентности таких векторов) в некотором гильбертовом пространстве. В этом гильбертовом пространстве много векторов, но есть векторы$|\Psi_n\rangle$, которые также охватывают все векторное пространство и также являются специальными в следующем смысле: они являются собственными векторами оператора Гамильтона:$H|\Psi_n\rangle = E_n|\Psi_n\rangle$. Здесь$E_n$это просто реальное собственное значение, и я предполагаю, что могу перечислить собственные состояния по дискретному индексу$n$. Теперь для каждого момента времени ваш вектор состояния$\Psi$это просто линейная комбинация особых состояний$\{\Psi_n\}$. (В качестве примечания обратите внимание, что все временные зависимости состояний оставлены неявными в этом посте.) Следовательно, если вы знаете, как$H$действует на все$\Psi_n$х, вы знаете, как$H$действует на любой$\Psi$. Поскольку гильбертово пространство естественным образом имеет внутренний продукт, т. е. отображение

  $$\omega:(|\Psi\rangle,|\Phi\rangle)\mapsto\langle\Psi|\Phi\rangle\in\mathbb{C},\ \ \mbox{satisfying}\ \ \langle\Psi|\Psi\rangle>0\ \ \forall\ \ |\Psi\rangle\ne 0,$$

  вы можете определить новую карту

  $$\omega_H:\Psi\mapsto E_\Psi,\ \ \mbox{where}\ \ E_\Psi:=\omega_H[\Psi],$$

  с

  $$\omega_H[\Psi]:=\omega(|\Psi\rangle,H|\Psi\rangle)\equiv\langle\Psi| H|\Psi\rangle.$$

  Сравните строки выше с классическим случаем. Здесь$E_\Psi=\ ...=\langle\Psi| H|\Psi\rangle$тогда называется математическим ожиданием гамильтониана в физическом состоянии. Это энергетическая ценность, связанная с$\Psi$, что действительно в силу эрмитовости гамильтониана. Также, как и в классическом случае, эволюция во времени любого состояния$\Psi$(соответственно вектор состояния$|\Psi\rangle$) определяется наблюдаемой$H$, оператор в QM-случае. И как сказано выше, именно это$H$вместе с состоянием/конфигурацией$\Psi$, дает вам значения энергии$E_\Psi$связан с$\Psi$. Это отношение времени и энергии построено на построении: уравнение Шредингера является аксиомой (но естественной, см. сохранение вероятности), которая связывает эволюцию времени и гамильтониан. Теперь, если зависимость состояния от времени определяется гамильтонианом (как бы это ни выглядело в вашем сценарии), то и зависимость от времени$\langle\Psi| H|\Psi\rangle$.

  И если$\ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\Psi\rangle=H|\Psi\rangle\ $верно для всех векторов в вашем гильбертовом пространстве, т.е. если$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}=H$выполняется как операторное уравнение, то эти два действительно являются одним и тем же оператором. Если вы спросите об интерпретации этого, то я бы посоветовал вам придерживаться квантово-механического соотношения между частотой и энергией. Что касается уравнения, которое определяет эволюцию времени, квантовая механика в некотором смысле намного проще, чем классическая механика, особенно если у вас в рюкзаке есть немного теории групп Ли.

Классическим примером чего-то, где гамильтониан отличается от полной энергии, является частица, находящаяся в ускоряющем ограничении, например, шарик частицы, скользящий по вращающейся проволоке. Я буду использовать другую систему, частицу массы m в длинном равномерно ускоряющемся ящике.

Если ящик ускоряется с ускорением а, то в сопутствующей системе на частицу действует фиктивная сила, полученная из фиктивного потенциала. Описание сопутствующего гамильтониана такое же, как для частицы в гравитации, так что

Что справедливо для положительного x, а потенциал бесконечен для отрицательного x. Если рассматривать ту же частицу в неускоренной системе отсчета, то полная энергия — это просто кинетическая энергия, а потенциальная энергия ограничивает попадание частицы в область$x<{at^2\over 2}$. Сопутствующий гамильтониан — это не энергия частицы, неограниченно возрастающая со временем, но он дает динамический закон для сопутствующей волновой функции системы отсчета.

Волновая функция частицы (если она может излучать) установится в основное состояние движущегося гамильтониана. Частица будет находиться в связанном профиле у стенки, где связь осуществляется линейным потенциалом. Для инерциальной системы отсчета этот профиль будет постоянно ускоряться, а его энергия не стабилизируется. Связь между ними определяется усилением волновой функции на величину, зависящую от времени.

Для систем без ограничений гамильтониан всегда представляет собой полную энергию. Это также верно для систем, в которых ограничения не добавляют энергии системе. Гамильтониан для систем, добавляющих энергию, обычно явно зависит от времени, но не в случае, когда динамика не зависит от времени с точки зрения частицы. Математически в такой системе у вас есть нетривиальная инвариантность перевода времени, которая является симметрией, и в случае ускоренной частицы эта симметрия перевода времени смешивает перевод времени инерционной системы отсчета и повышает.