Две ракеты, A и B, изначально расположены близко друг к другу и на одной оси, но направлены в противоположные стороны.

Question

Две ракеты, A и B, изначально расположены близко друг к другу и на одной оси, но направлены в противоположные стороны.

жамбаджус

Предположим, у нас есть две ракеты, А и В, и изначально они расположены близко друг к другу и на одной оси, но направлены в противоположные стороны. Их массы $m_A$ и $m_B$ соответственно, без учета топлива. Ракета А имеет топливо общей массой $M$ который выбрасывается сзади на скорости $u_0$ . У ракеты Б нет топлива. Выхлоп от Ракеты А собирается Ракетой Б без потерь. Обе ракеты изначально покоятся в космосе и не подвергаются значительному влиянию гравитации или трения. Как бы мы получили выражение для скорости ракеты B?

Я пытаюсь вывести «уравнение ракеты» для ракеты B, находясь в системе покоя ракеты A, просто учитывая изменение импульса, однако это, похоже, ни к чему не приводит. Есть предположения?

Эрик Смит

Если ракета В забирает все топливо ракеты А, то изменение ее импульса равно импульсу этого топлива. Это должно рассказать вам все, что вам нужно знать о том, как движется ракета B.

жамбаджус

Да, но учитываю ли я изменение импульса

d m

$dm$

u_{0}

$u_0$ или я моделирую это как один большой кусок топлива

M

$M$ ?

ДЖЭБ

Это зависит от того, хотите ли вы знать только конечную скорость B или хотите знать

v_{B} (t)

$v_B(t)$

Ответы (2)

Две ракеты, A и B, изначально расположены близко друг к другу и на одной оси, но направлены в противоположные стороны.

Если ракета В забирает все топливо ракеты А, то изменение ее импульса равно импульсу этого топлива. Это должно рассказать вам все, что вам нужно знать о том, как движется ракета B.
Да, но учитываю ли я изменение импульса $dm$ $u_0$ или я моделирую это как один большой кусок топлива $M$ ?
Это зависит от того, хотите ли вы знать только конечную скорость B или хотите знать $v_B(t)$

Мебиус · Answer 1

Метод, указанный Сидом :

По закону сохранения энергии: начальный импульс выброса равен конечному импульсу топлива и ракеты вместе взятых. Эта масса будет $M+m_b$ и он будет иметь общую скорость.

Вы можете взять конечную скорость объединенной массы топлива и ракеты как $v$ . Так:
$п_{ф ты е л} "=" в (м_{б} + М)$ $p_{fuel} = v(m_b + M)$ $М {ты}_{0} "=" в (м_{б} + М)$ $Mu_0 = v(m_b + M)$ $∴ в "=" \frac{М {ты}_{0}}{м_{б} + М}$ $\therefore v = \frac{Mu_0}{m_b+ M}$

Этот метод, указанный Сидом , очень полезен в тех случаях, когда вся масса мгновенно переносится на тело.

Однако давайте рассмотрим немного более сложный случай, именно поэтому я пишу этот ответ: предположим, что выброшенная масса входит в B со скоростью $\alpha$ $kgs^{-1}$ Как же найти скорость ракеты в тот момент, когда часть массы топлива передается ракете, а часть еще остается? Во-первых, скорость в этом случае будет переменной и, следовательно, функцией времени. Предположим, что мы хотим вычислить скорость в момент времени. $'t'$ .Пусть скорость в этот момент будет $v_b$ .Теперь за это время общая масса топлива, поступившего в B, равна $\alpha t$ .Эта масса изначально имела скорость $u_0$ но после входа в B он имеет общую скорость $v_b$ . .Так что конечный импульс этой массы топлива и ракеты: $(\alpha t + m_b)v_b$ .

Конечный импульс ракеты + топливо = начальный импульс ракеты + топливо (по закону сохранения импульса) .... 1

Так

Начальный импульс ракеты = 0 (так как скорость os 0)

Начальный импульс топлива = $\alpha t u_0$

Начальный импульс ракеты + топливная система = 0 + $\alpha t u_0$ "=" $\alpha t u_0$

Конечный импульс этой массы топлива и ракеты равен: $(\alpha t + m_b)v_b$ .

из 1 выше:

α т {ты}_{0} "=" (α т + м_{б}) в_{б}

$\alpha t u_0 = (\alpha t + m_b)v_b$

в_{б} "=" \frac{α т {ты}_{0}}{α т + м_{б}}

$v_b = \frac{\alpha t u_0}{\alpha t + m_b}$

Какой мой ответ

$\alpha t = M$ после того, как вся масса была перенесена, так что она снова выходит на $\frac{M u_0}{M + m_b}$ . Однако вы правильно заметили, что мой ответ является упрощением, за это я благодарю вас.
Да, я думаю, что этот метод правильный, и гораздо более простой. Я думал о том, как небольшая масса $dm$ придаст импульс большей ракете. Таким образом, мы получили бы выражение $dM_a u_0+ M_bV_b = (M_b + dM_a)(V_b +dV_b)$ , а затем перестроить, чтобы найти уравнение для скорости, которое, я думаю, все же приведет меня к ответу, хотя и немного сложнее.

Сид · Answer 2

Как вы уже догадались, здесь применим закон сохранения импульса. Таким образом, начальный импульс выброса будет равен конечному импульсу топлива и ракеты вместе взятых. Эта масса будет $M+m_b$ и он будет иметь общую скорость.

Как указывает Мёбиус, масса топлива зависит от времени, в течение которого ракеты находятся рядом. Но мы можем узнать конечную скорость.

Вы можете взять конечную скорость объединенной массы топлива и ракеты как $v$ . Так:

п_{ф ты е л} "=" в (м_{б} + М)

$p_{fuel} = v(m_b + M)$

М {ты}_{0} "=" в (м_{б} + М)

$Mu_0 = v(m_b + M)$

∴ в "=" \frac{М {ты}_{0}}{м_{б} + М}

$\therefore v = \frac{Mu_0}{m_b+ M}$

Дайте мне знать, если что-то неясно или я неправильно понял ваш вопрос.

Две ракеты, A и B, изначально расположены близко друг к другу и на одной оси, но направлены в противоположные стороны.

жамбаджус

Эрик Смит

жамбаджус

ДЖЭБ

Ответы (2)

Мебиус

Сид

жамбаджус

Мебиус

Сид

Справедливы ли законы движения Ньютона в неинерциальных системах отсчета?

Если на планете, вращающейся вокруг оси, нет атмосферы и с ее поверхности пускают ракету "прямо вверх",

Путаница с энергосбережением

Вычислить общий угловой момент объекта, вращающегося вокруг двух осей (например, Земли)

Углубление понимания центробежной силы на экваторе и полюсах

Пружина вращается в равномерном круговом движении

Лагранжиан в неинерциальной системе отсчета

Как мы можем объяснить разницу в изменении кинетической энергии из-за разных систем отсчета?

Как изменяется закон сохранения импульса в неинерциальных системах отсчета?

Верна ли теорема о работе-энергии в неинерциальных системах отсчета?