Если на планете, вращающейся вокруг оси, нет атмосферы и с ее поверхности пускают ракету "прямо вверх",

Я предполагаю, что запуск «прямо вверх» означает, что сила, действующая на ракету, направлена ​​вдоль линии между ракетой и центром планеты. Также буду считать, что ракета стартует на "экваторе" планеты, т.е. вектор ее положения относительно центра планеты перпендикулярен оси вращения планеты.

Это означает, что на ракету не действует чистый крутящий момент относительно центра планеты, а это означает, что ее угловой момент относительно центра планеты должен быть постоянным. Кроме того, ракета продолжит движение по орбите вокруг той же оси, что и до запуска.

Угловой момент в этом случае определяется выражением

$$L=mr^2\omega$$ где$m$масса ракеты,$r$- расстояние, на котором находится ракета от центра планеты, и$\omega$- угловая скорость ракеты относительно центра планеты.

Ракета стартует на поверхности планеты на расстоянии$R$от центра планеты с угловой скоростью$\omega_0$. Следовательно, начальный угловой момент равен

$$L_0=mR^2\omega_0$$

Как только ракета включится,$r$будет некоторой возрастающей функцией времени$r(t)$. Поскольку угловой момент сохраняется, мы имеем

$$L=L_0$$ $$mr^2\omega=mR^2\omega_0$$

Или, решая для$\omega$как функция времени

$$\omega(t)=\left(\frac{R}{r(t)}\right)^2\omega_0$$

Следовательно, по мере движения ракеты вверх ее угловая скорость будет уменьшаться. Поэтому он не может оставаться на одном и том же месте над планетой. Должна быть какая-то дополнительная сила, касательная к орбите, чтобы угловая скорость оставалась постоянной, тем самым увеличивая угловой момент по мере движения ракеты вверх.

Все зависит от того, что такое "прямо вверх", а также от расположения стартового комплекса. Давайте поместим его на экваторе на прогрессивной планете. Когда ракета поднимается, наведение должно будет учитывать силу Кориолиса, толкающую ракету на запад, чтобы удерживать ее над стартовой площадкой. Это потребует увеличения скорости в восточном направлении, чтобы угловая скорость оставалась неизменной на уровне одного оборота в (звездные) сутки.

Если ракета достигает высоты геостационарной орбиты (и не имеет вертикальной скорости), она останется на орбите прямо над площадкой.

Обратите внимание, что наличие или отсутствие атмосферы не имеет концептуального отношения к этой проблеме.