Двойной тензор Римана и скалярная теория поля

Я пытаюсь найти компонентное уравнение движения для действия в статье . Действие для системы,

$$S=\frac{m_P^2}{8\pi}\int d^4x\sqrt{-g}\bigg(\frac{R}{2}-\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi+\alpha\phi\mathcal{G}\bigg),$$ где$\mathcal{G}=R^{\mu\nu\rho\sigma}R_{\mu\nu\rho\sigma}-4R^{\mu\nu}R_{\mu\nu}+R^2$является инвариантом Гаусса-Бонне. Модифицированное уравнение движения Эйнштейна для действия: $$G_{\mu\nu}=T_{\mu\nu}=\partial_\mu\phi\partial_\nu\phi-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}(\partial\phi)^2-\alpha(g_{\rho\mu}g_{\delta\nu}+g_{\rho\nu}g_{\delta\mu})\nabla_{\sigma}(\partial_{\gamma}\phi\epsilon^{\gamma\delta\alpha\beta}\epsilon^{\rho\sigma\lambda\eta}R_{\lambda\eta\alpha\beta}),$$ где последний член в скобках - это двойственный тензор Римана (я думаю, что он не расходится). Скалярное поле является функцией$r$только и поэтому$\gamma=r$чтобы третий член был отличен от нуля. В первой части статьи я связал метрику, $$ds^2=-e^{A(r)}dt^2+e^{B(r)}dr^2+r^2(d\theta^2+sin^2(\theta)d\varphi^2),$$ используется как анзац в качестве решения. Затем это подставляется в уравнение Эйнштейна и$tt, rr$и$\theta\theta$найдены уравнения.

Я пробовал делать сокращения в MAPLE для$tt$компонента, гарантируя правильность индексов (например.$\rho=t$с$\mu=t$и т. д.). Тем не менее, я продолжаю получать условия формы,

$$-8\alpha e^A\frac{(1-e^B)(\phi''-\frac{B'}{2}\phi')}{e^{2B}r^2}+\frac {1}{2}e^{A}\phi'^2,$$ что близко к ответам, которые они дают в приложении, за исключением$B'\phi'$термин в приложении несет ($e^{B}-3$), и я не знаю, откуда взялась эта 3. При поиске ответа я использую бездивергентный характер двойственного Римана ($*R*$), чтобы записать последний член в правой части уравнения Эйнштейна как

$$\nabla_{\sigma}(\partial_{\gamma}\phi\epsilon^{\gamma\delta\alpha\beta}\epsilon^{\rho\sigma\lambda\eta}R_{\lambda\eta\alpha\beta})=\epsilon^{rt\varphi\theta}\epsilon^{tr\theta\varphi}R_{\theta\varphi\varphi\theta}\nabla_{r}\partial_r\phi=(*R*)_{\theta\varphi\varphi\theta}\bigg(\phi''-\frac{B'}{2}\phi'\bigg),$$ где в последнем равенстве я расширил ковариантную производную и использовал$\Gamma^{r}_{rr}$Символ Кристоффеля.

Дальнейшие проблемы возникают, когда я смотрю на$rr$термин, поскольку я пропустил по крайней мере 4 термина из приложения.

Я не уверен, есть ли проблема в моем понимании, или есть что-то, что я должен знать о двойном Римане, чего у меня здесь нет, или мое использование только$\Gamma^r_{rr}$символ правильный. Если бы кто-нибудь мог протянуть мне руку помощи, увидев, где мои расчеты идут наперекосяк, я был бы очень признателен.