Запутался в индексах тензора Риччи

Во введении к книге GR тензор Риччи дается как:

р мю ν "=" ∂ λ Г мю ν λ − Г λ о λ Г мю ν о − [ ∂ ν Г мю λ λ + Г ν о λ Г мю λ о ]

Я дошел до того, что могу вычислить заданный символ Кристоффеля, но у меня все еще возникают проблемы с вычислением приведенного выше тензора в целом (просто говоря алгебраически). Если я не ошибаюсь, р мю ν должно закончиться мю Икс ν (то есть 4x4) матрица точно так же, как тензор энергии-импульса на другой стороне уравнений поля. В приведенном выше рендеринге о явно фиктивный индекс, по которому нужно суммировать, и я вижу, как λ также является фиктивным индексом в первом члене. Но λ s в других терминах кажутся свободными индексами, которые затем вводят несовместимые измерения в матричные операции. Я ценю это, если кто-то может указать на ошибку моего пути.

Почему вы решили, что λ с бесплатно?
Потому что я думал, что фиктивные индексы должны повторяться в отдельных символах. Теперь ясно.

Ответы (1)

Каждый термин содержит один λ в верхнем индексе и один в нижнем индексе, поэтому вы суммируете их. Единственные индексы, которые не появляются ни в надстрочном, ни в подстрочном индексе в одном и том же термине, это мю и ν .

Пример:

Г λ о λ Г мю ν о "=" Г 00 0 Г мю ν 0 + Г 01 0 Г мю ν 1 + ⋯ + Г 10 1 Г мю ν 0 + ⋯

Обратите внимание, что все контравиариантовые/ковариантные индексы должны быть записаны с использованием ключевого слова LaTeX '\phantom' Г λ λ о ξ ; строго говоря, они не должны располагаться непосредственно друг над другом. Хотя в таком контексте писать больно... :]
Да, учитывая, что то, что я хочу сделать, ясно без явного позиционирования индексов, я не стал этим заморачиваться. К сожалению, у нас нет пакета тензорных обозначений для MathJax.
@Killercam +1 Спасибо. Это полезно знать, потому что во всех книгах, которые я просмотрел, индексы Кристоффеля располагаются друг над другом, и мне было интересно, не следует ли размещать их в своих собственных столбцах в соответствии с логикой, например, Тензорные индексы Римана.
@Killercam Стоит отметить, что многие авторы не смещают индексы в символах Кристоффеля, поскольку на самом деле они не являются тензорами, а просто наборами коэффициентов. Любая двусмысленность в пониженных формах может быть легко устранена, например Г λ мю ν "=" г λ о Г мю ν о . В любом случае гораздо более удобный способ индексов смещения TeX — это присоединение индексов смещения к пустым структурам, как в \Gamma^\lambda{}_{\mu\nu}. Набор текста GR стал значительно проще, когда я перестал использовать \phantom. ;)
Запутался в индексах тензора Риччи
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v