Двойственная роль (анти)эрмитовых операторов в квантовой механике

Первое замечание: термин «эрмитов», даже если он очень популярен в физике, на мой взгляд, вводит в заблуждение (потому что кто-то использует его для симметрических операторов, кто-то для самосопряженных).

Второе замечание: самосопряженные операторы данного гильбертова пространства$\mathscr{H}$находятся во взаимно однозначном соответствии с сильно непрерывными группами унитарных операторов; ни с какой группой унитарных операторов. Таким образом, наблюдаемые нельзя связать с «унитарными операторами», но можно связать их с сильно непрерывными (абелевыми, локально компактными) группами унитарных операторов.

Эти различия, даже если в каком-то смысле тонкие, могут быть важными. На самом деле существуют представления унитарных групп, не допускающие самосопряженного образующего; например, канонические коммутационные соотношения (в возведенной в степень форме Вейля) имеют такие «нерегулярные» представления для полей и физически связаны с инфракрасными проблемами (см., например, эту ссылку ) .

Что касается наблюдаемых, то дело в том, что довольно сложно дать удовлетворительную алгебраическую настройку, чтобы собрать вместе неограниченные наблюдаемые (поскольку они на самом деле являются большинством физически значимых величин: например, энергия, импульс...). Один из вариантов — построить алгебру неограниченных операторов, но нужно учитывать всевозможные «кошмары» предметной области. Другой — рассмотреть алгебру ограниченных операторов (a$C^*$или алгебра фон Неймана) и подходящим образом «аффилировать» с ней неограниченные самосопряженные операторы. Обе процедуры, на мой взгляд, не вполне удовлетворительны; в любом случае алгебраический подход дает очень хорошую основу для понимания некоторых аспектов квантовых теорий, особенно представлений групп операторов.

Моя личная точка зрения состоит в том, чтобы рассматривать любой самосопряженный оператор в данном гильбертовом пространстве (обычно это подходящее представление$C^*$алгебра или ее бикоммутант) как наблюдаемая. Такой выбор оправдан тем, что любая вещественнозначная физически измеримая величина, реально измеряемая физиками, ведет себя как самосопряженный оператор (а не как симметричный); в частности, он имеет (математически говоря) связанное спектральное семейство, как это имеет место для самосопряженных операторов, но не для симметричных.

Последний математический комментарий : Конечно, вы можете ассоциировать с данным самосопряженным оператором$A$сильно непрерывная унитарная группа$e^{itA}$; и, например, построить$C^*$алгебра$\{e^{itA},t\in\mathbb{R}\}\overline{\phantom{ii}}$; где черта обозначает замыкание (в операторной норме). Эта алгебра может быть очень интересна для изучения и связана с определенной группой преобразований симметрии и так далее. Однако есть и другие алгебры, которые могут быть еще более интересными, например резольвентная алгебра.$\{(A-i\lambda)^{-1}, \lambda\in\mathbb{R}\}\overline{\phantom{ii}}$.

В случае CCR резольвентная алгебра имеет «более богатую» структуру аффилированных самосопряженных операторов и, что более важно, автоморфизмов. Это означает, что на резольвентной алгебре можно определить больше типов квантовой динамики, сохраняя ее, чем для унитарной экспоненциальной алгебры Вейля. С точки зрения того, что наблюдаемые являются только операторами, связанными с данной алгеброй, это означает, что резольвентная алгебра содержит больше наблюдаемых и менее тривиальную структуру возможных эволюций, чем алгебра Вейля.