Каждый ли эрмитов оператор представляет измеримую величину?

Дана квантовая система с ассоциированным гильбертовым пространством$\mathcal H$, множество всех самосопряженных ограниченных операторов есть$\newcommand{\bh}{\mathcal B(\mathcal H)_\text{sa}}\bh$. В общем, лишь небольшое подмножество$\bh$будут представлять физически наблюдаемые операторы. Для бесконечномерных систем$\bh$огромен , и нет никакой надежды когда-либо найти эксперименты для всех его участников; даже в конечномерных системах очень сложно найти экспериментальные схемы, чувствительные даже к базису векторного пространства для$\bh$.

Физический подход к этому состоит в том, чтобы начать с конечного набора операторов, которые, как вы знаете, вы можете измерить. Например, для одиночной свободной частицы вы бы взяли положение и импульс; для конечного набора спинов вы взяли бы все их матрицы Паули. Затем вы формируете набор$\mathcal A$всех операторов, которые могут быть образованы из них через произведения и линейные комбинации, имеет структуру$\mathcal C^\ast$алгебра, и это ваш набор физических наблюдаемых. $\mathcal C^\ast$алгебра сама по себе является действительно фундаментальным описанием системы ; гильбертово пространство — это просто одно из возможных представлений.

В этом формализме состояния являются функционалами на$\mathcal A$: это функции

Редактировать: Как правильно отмечают joshphysics и WetSavannaAnimal , это работает, как указано, только для ограниченных операторов, а не для неограниченных, таких как позиция или энергия. Боюсь, я недостаточно хорошо знаю, как это распространяется на этот класс операторов — для этого нужен кто-то с гораздо более сильными способностями к функциональному анализу, чем у меня.