Двухмерная диффузия на поверхности: коэффициент диффузии и поверхностное трение.

Следует иметь некоторые оговорки относительно допущений, сделанных при построении такой модели. Например, на микро- или мезомасштабе будет ли верна эта механическая формула для трения скольжения? Очень близко к поверхности, вероятно ли, что сопротивление жидкости подчиняется тому же закону (пропорциональному скорости) с тем же коэффициентом (трение или сопротивление), что и в объеме? Будет ли в этих условиях частица просто перемещаться или еще и вращаться?

Я оставлю в стороне все эти оговорки (как и тот факт, что это активные частицы) и переформулирую проблему в ее самой элементарной форме. Диффузное поведение получается из решения уравнения Ланжевена , которое включает силу сопротивления (пропорциональную скорости,$-\zeta v$, с коэффициентом трения$\zeta$), и случайная сила или белый шум$R(t)$(статистические свойства которых связаны с$\zeta$). Отсюда можно сделать вывод, что среднеквадратичное перемещение пропорционально времени$t$, следовательно, определяя коэффициент диффузии$D=k_BT/\zeta$. Можно также вывести эквивалентное уравнение Фоккера-Планка . Необязательно систематическая внешняя сила$F_{\text{ext}}$можно добавить.

Вы хотите добавить к этому силу «сухого трения» (иногда называемую кулоновским трением), поэтому полное уравнение Ланжевена станет (для простоты в одном измерении)

$$m\frac{dv}{dt} = -\zeta v - F_{\text{friction}} \sigma(v) +F_{\text{ext}} +R(t) .$$ В дополнительный срок,$\sigma(v)$- знак скорости, а$F_{\text{friction}}$представляет собой величину, которая в вашем случае будет дана формулой, включающей$\mu_s$и вес частиц с поправкой на плавучесть. Вы можете установить$F_{\text{ext}}=0$, но иногда полезно обсудить подвижность частицы, позволив ей принимать постоянное ненулевое значение.

Решение этой проблемы не обязательно сводится к простому диффузионному поведению с измененным коэффициентом диффузии, как вы надеялись. Тем не менее, это было рассмотрено в литературе. В одной из своих последних статей de Gennes J Stat Phys, 119, 953 (2005) проанализировал проблему такого рода, а также она была рассмотрена в Hayakawa Physica D, 205, 48 (2005) , которую вы можете найти в общедоступном виде. препринт . Совсем недавно появился очень подробный анализ Touchette et al. J Phys A, 43, 445002 (2010), также доступный в виде препринта .

Я не чувствую себя достаточно экспертом, чтобы комментировать эти решения, которые довольно сложны, хотя де Жен и выделяет некоторые режимы масштабирования, в которых кажется возможным упрощенное описание. Надеюсь, однако, что вы найдете эти указатели на литературу полезными в решении вашей проблемы.