Стохастический процесс, порождающий дробную диффузию

Один из способов сгенерировать броуновское движение заключается в следующем: определить распределение вероятностей времени ожидания$\psi(t)$и распределение вероятностей длины шага$\lambda(x)$. Требуйте также, чтобы$\langle \psi \rangle = \tau$,$\langle \lambda \rangle = 0$, и$\langle \lambda^2 \rangle = \sigma^2$. То есть распределение времени ожидания имеет конечное среднее значение, а длина шага симметрична относительно нуля с конечной дисперсией. Затем мы можем сгенерировать последовательность временных шагов$\delta t_i \sim \psi$, последовательность длин шагов$\delta x_i \sim \lambda$. Тогда мы можем определить траекторию$x(\sum^N \delta t_i) = \sum^N \delta x_i$.

Если кто-то моделирует процесс, удобный выбор включает$\psi(t) = \delta(t - \tau)$, и$\lambda(x) = \frac{1}{2}( \delta(x - \sigma ) + \delta(x + \sigma ))$. То есть через равные промежутки времени вы с равной вероятностью выбираете, пойдет ли частица влево или вправо. Все идет нормально.

Теперь для простоты пусть аномальная диффузия будет таким процессом, что$\langle \Delta x^2 (t) \rangle \propto t^\alpha$, для$0 < \alpha < 1$.

Для возникновения аномальной диффузии необходимо, чтобы среднее время ожидания расходилось$\langle \psi \rangle \to \infty$или что дисперсия длины шага расходится$\langle \lambda^2 \rangle \to \infty$или, я думаю, возможно, оба. Я знаю один способ сделать это: пусть$\langle \psi \rangle$иметь распределение Парето$\psi(t) = \frac{\alpha \tau^\alpha}{t^{1+\alpha}}$для$t > \tau$, так что оно имеет расходящееся среднее. Затем мы можем выбрать любой$\lambda$с конечной дисперсией, как в предыдущем абзаце.

Мой вопрос в том, можно ли требовать, чтобы$\psi(t) = \delta(t - \tau)$и все равно получить аномальную диффузию. Очевидно$\lambda$должна была бы иметь расходящуюся дисперсию, но я понятия не имею, кроме этого. Я полагаю$\lambda(x_i)$может даже зависеть от прошлой истории. То есть я ищу шаги через равные промежутки времени$\Delta t$из определенного дистрибутива$\lambda$так что результирующие траектории демонстрируют аномальную диффузию.