Единицы гравитационной постоянной

Что ж, способ найти единицы константы состоит в том, чтобы рассмотреть уравнение, в котором она участвует:

$$F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}$$

$F$это сила: значит, она измеряется в ньютонах ($\operatorname{N}$). Ньютон — это сила, необходимая для того, чтобы придать килограмму ускорение, равное метру в секунду за секунду: так, в единицах СИ его единицы:$\operatorname{kg}\operatorname{m}/\operatorname{s}^2$.$m_1$и$m_2$массы: в единицах СИ они измеряются в килограммах,$\operatorname{kg}$, и$r$это длина: она измеряется в метрах,$\operatorname{m}$.

Итак, снова в единицах СИ мы можем переписать вышеприведенное как что-то вроде

$$\phi \operatorname{N} = \phi \operatorname{kg} \operatorname{m}/\operatorname{s}^2 = G \frac{\mu_1 \mu_2}{\rho^2}\frac{\operatorname{kg}^2}{\operatorname{m}^2}$$

где$\phi$,$\mu_1$,$\mu_2$и$\rho$являются чистыми числами (это числовые значения различных величин в единицах СИ). Итак, нам нужно получить размеры этого, чтобы иметь смысл, и просто делая это, сразу становится очевидным, что

$$G = \gamma \frac{\operatorname{m}^3}{\operatorname{kg} \operatorname{s}^2}$$

где$\gamma$является чистым числом и является числовым значением$G$в единицах СИ.

В качестве альтернативы, если мы вернем ньютоны в LHS, мы получим

$$G = \gamma \frac{\operatorname{N} \operatorname{m}^2}{\operatorname{kg^2}}$$

Фактически первый набор единиц равен второму. Если заменить Ньютон во втором выражении его определением в килограммах, метрах и секундах

$$1 N = 1 \frac{\mathrm{kg ~ m}}{\mathrm{s^2}}$$

вы восстанавливаете первое выражение.

Система СИ имеет ряд основных единиц ( метр, килограмм, секунда, ампер, кельвин, моль и кандела ). Все остальные единицы определяются на основе этих семи, и на самом деле они являются не более чем удобными обозначениями.

Смысл второго выражения, которое, как мне кажется, вам больше знакомо, состоит в том, что это число, которое вы должны умножить на массы двух объектов (отсюда$\mathrm{kg^{-2}}$) и разделить на квадрат расстояния между ними (отсюда$\mathrm{m^2}$), так что вы восстановите силу тяжести, с которой объекты действуют друг на друга.

Смысл первого выражения точно такой же , потому что это одно и то же выражение. Его просто затмили менее привычными обозначениями, заменив легко узнаваемый Ньютон его составными единицами. Попытка интуитивно понять его значение, глядя на единицы, не является невозможной, но это излишне сбивает с толку. После того, как вы убедились, что оба выражения на самом деле идентичны, я бы посоветовал вам не слишком беспокоиться о «значении» единиц в первом выражении.

Что касается вашего последнего вопроса, то нет. Это связано с тем, что уравнение для гравитационной силы должно выводить силу и учитывать массы обоих объектов, а также квадрат расстояния между ними. Таким образом, гравитационная постоянная должна иметь соответствующие единицы измерения.

Надеюсь, это поможет.

Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно взглянуть на уравнение$F_g=Gm_1m_2/ d^2$. Итак, если G измеряется в$\rm m^3/kg~s^2$, а масса измеряется в кг, а расстояние измеряется в м, то сила измеряется с помощью$\rm m^3/kg ~s^2 \cdot kg^2/m^2$, что упрощает до$\rm kg~m/s^2$

А теперь определить$\rm kg~m/s^2$ваши инстинкты могут состоять в том, чтобы разделить его на$\rm m/s^2$и кг. Если$\rm m/s^2$- единица ускорения, а кг - единица массы, тогда сила должна быть произведением массы на ускорение. Это описано вторым законом движения сэра Исаака Ньютона PRS:

$F=ma$

Поэтому имеет смысл, что гравитационная постоянная G измеряется в$\rm m^3/kg^1~s^2$.

Это проблема.

Константы ссылаются на чистые числа, поэтому действительно забавно, что константа должна иметь единицы измерения.

Это уместная проблема. Вы обнаруживаете или предполагаете, что что-то зависит от чего-то другого, пропорционально, например, когда x изменяется от 3 до 4, y изменяется от 6 до 8 (так что y=2*x, где 2 — константа) или обратно пропорционально (y=x/ 2), поэтому, когда вы удовлетворены тем, что нашли все, что может повлиять на это, у вас в значительной степени есть уравнение, например, y=a x^2+bx+c простое квадратичное число в одном измерении или что-то вроде w=x y.

Последний шаг — добавить константы, чтобы числа, результаты совпадали.

Однако, если по вашим принципам единиц измерения единицы не совпадают, у вас есть проблема. Вы пожертвуете ради этого, если ваша константа верна, даже если она имеет единицы измерения, но, возможно, помните, что в уравнении есть нечто большее, чем это упрощение, или, конечно, что ваша первоначальная идея единиц измерения имеет недостаток. Это больше путаницы, чтобы переопределить ваши основные принципы, т.е. скорость не метр/секунды, так что давайте пока опустим это.

Уравнение гравитации в этой форме также очень похоже на закон Кулона, слишком похоже на самом деле, оба в основном являются ориентирами, чтобы сказать, что сила пропорциональна массам объектов и обратно пропорциональна квадрату их расстояния (в случае гравитации)

Вы получаете аккуратные квадраты с гравитационной силой, т.е. (кг/м)2, поэтому, если все это возведено в квадрат, вы можете задаться вопросом, что такое кг/м.

Например: квадраты появляются, когда вы добавляете что-то через интегрирование, интегралы — еще одна прекрасная математическая концепция, которая, однако, по крайней мере графически, является приближением.

Таким образом, мы говорим, что если y=x^2, то dy/dx=2x и интегрирование является обратным дифференцированию, используя обозначение «Интеграл от x» как I(x), тогда I(2x)=2*(x^2)/ 2 + K (мы всегда добавляем константу при интегрировании для недостающей части.

Так что, возможно, (гравитационная) сила равна f = I (что-то), так что в итоге она оказывается в квадрате.

Сила — забавное животное. У вас есть такие вещи, как импульсы, как у вас есть такие вещи, как энергия, работа и сила, все эти понятия в физике связаны между собой. Например, iirc work=power*time, но это просто здравый смысл, поэтому я остановлюсь здесь.

Добавлен:

Чтобы начать думать о кг / м и о том, что это такое, одна вещь, которая пришла на ум, эти два связаны, когда что-то перемещается на расстояние, как расстояние зависит от массы? Ну, конечно, когда есть трение, масса имеет значение. Вы также можете подумать о плотности, то есть о массе/объеме.

Итак, F~объем^2 и, возможно, F=объем чего-то, что возвращает его к кг м/с^2. то, что в воспринимаемом локальном стабильно, постоянно. Имейте в виду, что если F=I(x) и в нем м/с^2, то существует интегральное соотношение между скоростью и ускорением (s=v t+ a t/2), где s — расстояние, v — скорость, a ускорение и время t. Имейте в виду, что интегрирование тоже субъективно, вы интегрируете что-то, поэтому, если w = x y, а x и y являются переменными, вы можете интегрировать w по x и вы можете интегрировать w по y. Они / (могут быть) аддитивными при условии, что они независимы, потому что, если y = f (x), вы можете перейти к одной переменной w = x f (x) => w = g (x)

Поскольку у этого вопроса было 46 тысяч (!) Просмотров, может быть полезно добавить ответ даже через 4 года.

$G$- экспериментальная постоянная, необходимая для согласования потенциальной энергии Ньютона с экспериментом. Потенциальная энергия Ньютона равна

$$E_P = - \frac{GM m}{r} ~.$$ Деление на энергию$m c^2$вы получаете безразмерный потенциал $$V = -\frac{GM}{c^2r} ~.$$ С$V$безразмерный$GM/c^2$является длиной. Эта длина интерпретируется как половина радиуса черной дыры с массой M,$r_M/2$. G имеет размерность$m^3 kg^{-1} s^{-2}$. Поэтому вы также можете записать безразмерный потенциал как $$V=r_M/2r$$ где единственная константа — длина с понятной, хотя и экзотической интерпретацией.

Это может помочь вам визуализировать$G$значение и что его единицы означают в физическом смысле.

Рассмотрим систему с частицей, находящейся в пространстве на единичном расстоянии от единицы массы — скажем, пылинки в метре от$1kg$камень. Данный:

$$F = ma = G \frac{M m}{r^2} ~,$$ и с$M$и$r$оба$1$, мы можем видеть, что гравитационное ускорение частицы по направлению к скале,$a$, численно равен$G$.

Единицы тоже работают, потому что (отменив массу частицы$m$и вставка единиц):

$$a (ms^{-2}) = G (m^3kg^{-1}s^{-2}) \frac{1(kg)}{1^2 (m^2)}$$

Так что интересно: частица в этот момент ускоряется к камню на$6.67 \times 10^{-11}ms^{-2}$, и в любой системе единиц,$a = G$, численно.

Теперь представьте, что частица вращается вокруг скалы и сохраняет радиус орбиты, равный единице расстояния. Какова его угловая скорость? С использованием$a = \omega^2r$(и сохраняя$r$как один метр), мы видим$\omega^2 = G$, численно.

Что означает, что$\omega = \sqrt G$. Для метрических единиц наша частица движется примерно$8\mu rad/s$, или$122,000s$на радиан, и это орбита каждые 9 дней.

Угловая скорость имеет единицы углов (давайте придерживаться радианов) в единицу времени,$\theta/s$, но углы являются безразмерным отношением$arclength/radius$, поэтому мы обычно видим$\omega$с единицами всего$s^{-1}$.

Мы представляли себе центральную массу как камень, но это может быть любая соцентрическая сфера (вплоть до радиуса орбиты), пока масса, видимая в центре масс, не изменится, т.е. сохраняя среднюю плотность пространства внутри орбиты постоянной. Предположим, это$1kg$сфера из материала с низкой плотностью радиусом ровно один метр, так что теперь орбита частицы проходит прямо над поверхностью. И предположим, что мы делаем это определяющей характеристикой орбиты: это не$1$метровой орбиты, а орбита, которая движется по поверхности сферы единичного радиуса и массы .

Это означает, что мы свели гравитацию к двум компонентам: для заданного значения$G$в некоторой системе единиц мы связываем плотность сферы (отношение массы и расстояния$^3$), и$\omega^2$(это$1/$время$^2$) частицы, которая вращается прямо над ее поверхностью.

Если в другой вселенной, где$G$больше, то вы можете оставить ту же сферу, и частице нужно будет двигаться быстрее, или вы можете уменьшить плотность (уменьшить массу или увеличить объем) сферы и сохранить ту же скорость. Так$G$говорит вам, для данной вселенной, отношение$\omega^2$к плотности сферы в единицах по вашему выбору.

Другими словами,$G$имеет единицы$\frac{\omega^2}{mass/volume}$, который$1/time^2 \times \frac{volume}{mass}$.

В метрике мы называем это$m^3kg^{-1}s^{-2}$. Как только вы зафиксируете в своем зрительном регистре частицу, вращающуюся вокруг этой сферы, и представите, как изгибается масса или объем сферы, или усиливаете или ослабляете гравитацию, и видите, что должна делать частица, чтобы продолжать двигаться по орбите, вы увидите, что$G$ должны иметь эти единицы. Это в природе структуры.

Самая прямая интерпретация — та, которая выходит за границы парадигмы между релятивистской и нерелятивистской физикой и связана с уравнением Райчаудхури, — это интерпретация с точки зрения сокращения объема.

Облако, окружающее тело массы$M$, все составляющие которого находятся в радиальном движении, имеет объем, который в зависимости от времени$V(t)$удовлетворяет уравнению

$$\frac{d²V}{dt²} - \frac{2}{3V} \left(\frac{dV}{dt}\right)^2 = -4πGM.$$ Если изначально неподвижно, то начальное ускорение объема под действием силы тяжести равно$-4πGM$, отрицательный показатель указывает на то, что он начинает сокращаться.

Так, единицы для$GM$кубические метры в секунду, в секунду.

Обобщение этого до$n + 1$размерное пространство-время

$$\frac{d^2V}{dt^2} - \frac{n-1}{nV} \left(\frac{dV}{dt}\right)^² = -n \frac{π^{n/2}}{(n/2)!} G_n M,$$ используя соглашение$(-1/2)! = \sqrt{π}$, где$G_n$это$n$-размерная версия коэффициента Ньютона; чьи единицы были бы метрⁿ/(секунда² килограмм).