Единицы компонент скорости и компоненты метрического тензора

Я смотрел лекцию по ОТО на ютубе, и докладчик объясняет, что единицы измерения компонентов скорости [ в α ] "=" 1 Т , метрический тензор имеет единицы [ г α β ] "=" л 2 , а скорость кривой (в некотором многообразии М ) имеет единицы [ г α β в α в β ] "=" л Т . Он также утверждает, что это то, что изначально создавало трудности для Эйнштейна во время разработки ОТО. Учитывая первые два, я понимаю третье, но я не очень понимаю, почему у первых двух есть эти единицы. Он сказал, что компоненты скорости и компоненты метрического тензора имеют эти единицы измерения, потому что координатное расстояние на некоторых картах не имеет ничего общего с реальным расстоянием. Это объяснение на самом деле не имеет для меня смысла, и я надеялся, что кто-то может объяснить его более подробно.

Ответы (1)

Единицы этих величин зависят от системы координат.

Рассмотрим пространство Минковского с обычными декартовыми пространственными координатами. У нас есть

д с 2 "=" − с 2 д т 2 + д Икс 2 + д у 2 + д г 2 .
Ненулевые метрические коэффициенты
г т т "=" − с 2 ∼ л 2 Т 2 г Икс Икс "=" г у у "=" г г г "=" 1 ∼ 1.
4 -скорости исходят из параметризации ваших координат с помощью т ∼ Т и дифференцирование по этому параметру. Таким образом
в т ∼ Т Т "=" 1 в Икс ,   в у ,   в г ∼ л Т .

Вместо этого мы могли бы рассмотреть цилиндрические координаты с

д с 2 "=" − с 2 д т 2 + д р 2 + р 2 д θ 2 + д г 2 .
Теперь наши ненулевые метрические коэффициенты равны
г т т "=" − с 2 ∼ л 2 Т 2 г р р "=" г г г "=" 1 ∼ 1 г θ θ "=" р 2 ∼ л 2 .
и наши компоненты скорости имеют единицы
в т ∼ Т Т "=" 1 в р ,   в г ∼ л Т в θ ∼ 1 Т .

Вы могли бы только в α ∼ 1 / Т всегда , если вы всегда интерпретировали свои координаты как безразмерные, но все же настаивали на том, что собственное время имеет единицы времени. Я никогда не видел, чтобы кто-то так делал, и это, безусловно, странный способ вести дела. Кроме того, настаивая г α β ∼ л 2 , даже для компонентов время-время и время-пространство вы получаете, что правильные элементы объема являются чистыми «длинами»:

д В "=" − г д Икс 0 д Икс 1 д Икс 2 д Икс 3 ∼ л 4 ≁ л 3 Т .
То есть сама времениподобная координата связана с «длиной», а не с «временем».

Считая координаты безразмерными, но все же настаивая на том, что собственное время имеет единицы времени, звучит так, как поступил бы математик, поскольку (топологические) многообразия сами по себе не имеют понятия «расстояние» (здесь пространственно-временной интервал). Вместо этого расстояние вводится в многообразие с помощью метрического тензора г , так что это просто имеет смысл для меня, что г кто носит метрические единицы.
Единицы компонент скорости и компоненты метрического тензора
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v