Каковы единицы величин в уравнении поля Эйнштейна?

Метрический тензор безразмерен. Это видно из того, что$g_{\mu\nu}v^\mu v^\nu$дает квадрат четырехвекторной длины$v$, и, таким образом, имеет единицу измерения$v^2$.

Скалярная кривизна представляет собой сокращение тензора Риччи. Сокращение не меняет единиц. Также тензор Риччи является сокращением тензора Римана.

Тензор Римана состоит из производных по координатам коэффициентов связи, которые состоят из производных по координатам метрики. Поскольку каждая производная координат добавляет единицу$m^{-1}$, тензор Риччи и скаляр кривизны имеют единицу измерения$\mathrm{m}^{-2}$.

Космологическая постоянная тогда, конечно, также должна иметь единицу$\mathrm m^{-2}$, чтобы единицы совпадали.

$T$, тензор энергии-импульса, имеет единицу измерения плотности энергии или давления (оба на самом деле являются одной и той же единицей, если присмотреться), то есть$\mathrm J/\mathrm m^3$или$\mathrm N/\mathrm m^2$.

• $[T_{\mu\nu}]$является$J/m^3$

• $[g_{\mu\nu}]$является$1$

• $[R_{\mu\nu}]$,$[\Lambda]$, и$[R]$является$1/m^2$

Ответы выше правильные, но запись плохая. Когда они пишут «м», они имеют в виду «метры», а правильной единицей для анализа размеров является «длина = L».

$[R_{\mu\nu}]$,$[Λ]$, и$[R]$есть единицы$\rm\frac{1}{L^2}$

$[T_{\mu\nu}]$имеет единицы энергии/объема = давление = сила/площадь =$\rm\frac{mass}{[L*t^2]}$

постоянная Эйнштейна$k$преобразует эти. это$k = \frac{8\pi G}{c^4}$и имеет единицы$\rm\frac{t^2}{L*mass}$, поэтому он преобразует энергию напряжения$[T_{\mu\nu}]$к единицам другой части уравнения поля, которое имеет все связанные с метрикой части, каждый член которого размерно$\rm\frac{1}{L^2}$.

Я рекомендую этот обзор для подробного анализа размерного анализа в теории относительности, его связи с операциональными смыслами тензоров и обзора литературы:

• Mana (2020): Анализ размерностей в теории относительности и дифференциальной геометрии (версия arXiv более подробная, чем опубликованная версия).

Вот краткое изложение из него.

Для размерного анализа я использую соглашения и обозначения ISO 80000 . Я иногда использую такие обозначения, как$\pmb{T}{}_{\bullet}{}^{\bullet}$чтобы указать, что тензор$\pmb{T}$ковариантна в своем первом слоте и контравариантна во втором; Я называю это «коконтравариантным тензором».

Координаты

Во-первых, координата — это просто функция, которая связывает физическую величину с каждым событием в (пространственно-временном) многообразии или в его области. Вместе с другими координатами такая функция позволяет однозначно идентифицировать событие в этом регионе. Таким образом, координата потенциально может иметь любые единицы измерения. Это может быть расстояние от чего-либо, а также размеры$\mathrm{L}$; или время, прошедшее с чего-то, и так далее$\mathrm{T}$; или угол,$1$; или даже температура, размеры$\Theta$.

Размеры координат не имеют значения, как мы сейчас увидим.

Тензоры

Рассмотрим систему координат$(x^i)$с размерами$(\mathrm{X}_i)$.

Начиная с примера, возьмите контра-контра-ковариантный тензор$\pmb{A}$, с компонентами$(A{}^{ij}{}_k)$в некоторой системе координат. Тогда компонент$A{}^{ij}{}_k$должны иметь следующие размеры:

То, что мы только что видели, очевидно, непротиворечиво относительно изменений координат. Например, преобразование компонентов в загрунтованную систему,

Этот пример очевидным образом обобщается на тензоры любого типа.

Тензорные операции

Применяя только что рассмотренные рассуждения, мы можем найти размерный эффект основных операций над тензорами:

• тензорное умножение$\otimes$умножает размеры:$\dim(\pmb{A}\otimes\pmb{B}) = \dim(\pmb{A})\dim(\pmb{B})$;
• то же самое для внешнего продукта $\land$;
• то же для сокращения ( но без повышения или понижения индексов! см. ниже);
• pull-back и push-forward не изменяют размеры тензора, который они отображают;
• производная Ли по векторному полю$\pmb{v}$умножается на абсолютные размеры этого вектора:$\dim(\mathrm{L}_{\pmb{v}}\pmb{A}) =\dim(\pmb{v})\dim(\pmb{A})$;
• то же самое для внутреннего продукта $\mathrm{i}_{\pmb{v}}$;
• внешняя производная $\mathrm{d}$не изменяет размеры формы, на которой он работает:$\dim(\mathrm{d}\pmb{\omega}) = \dim(\pmb{\omega})$(мы могли бы использовать тождество Картана , чтобы проверить это);
• то же самое для интегрирования формы по подмногообразию;
• ковариантный производный оператор $\nabla$также не меняет размеры:$\dim(\nabla\pmb{A}) = \dim(\pmb{A})$. Но обратите внимание, что$\dim(\nabla_{\pmb{v}}\pmb{A}) = \dim(\pmb{v})\dim(\pmb{A})$.

Размерный эффект оператора ковариантной производной можно быстро проверить, заметив, что выражение$\nabla\pmb{A}$содержит следующий термин:

• символ Кристоффеля $\varGamma{}^i{}_{jk}$имеет размеры $$\dim(\varGamma{}^i{}_{jk}) = \mathrm{X}_i\,{\mathrm{X}_j}^{-1}\,{\mathrm{X}_k}^{-1}.$$

Кривые

Рассмотрим кривую к многообразию,$c\colon s \mapsto P$, где параметр$s$имеет измерение$\mathrm{S}$. Если рассматривать многообразие как «безразмерное» (если это имеет смысл), то размерности касательного вектора$\dot{c}$кривой$\dim(\dot{c}) = \mathrm{S}^{-1}$. Это следует либо из$\dot{c} := \partial x^i[c(s)]/\partial s\; \partial_{x^i}$, или учитывая, что$\dot{c}$можно интерпретировать как продвижение вперед$\partial_s$, то есть,$c_*(\partial_s)$.

Метрический тензор

Из приведенного выше обсуждения мы видим, что компонент$g_{ij}$метрики$\pmb{g}$имеет размеры$\dim(g_{ij}) = \mathrm{Z}\,\mathrm{X}_i\,{\mathrm{X}_j}^{-1}\,{\mathrm{X}_k}^{-1}$, куда$\mathrm{Z}$являются абсолютными размерностями метрики. Каковы эти абсолютные размеры?

Ответ, вероятно, зависит от того, как вы видите операционное значение метрики. Здесь я предлагаю свою личную точку зрения. Мы можем использовать метрику для измерения «длины» путей (подобных времени или пространству) в пространстве-времени. «длина» пути$c(s)$с$s\in [a,b]$является

Однако обратите внимание, что несколько важных авторов теории относительности (см. ссылки в цитированном выше обзоре) сосредотачиваются на времениподобных путях, для которых «длина» измеряется часами, имеющими этот путь в качестве мировой линии - это его собственное время. Таким образом, некоторые авторы вместо этого определяют

Используя наши обычные рассуждения, можно увидеть, что тензор кривизны Римана$\pmb{R}{}^{\bullet}{}_{\bullet\bullet\bullet}$, тензор Риччи$\pmb{R}_{\bullet\bullet}$, и тензор Эйнштейна$\pmb{G}_{\bullet\bullet}$безразмерны –$1$– а скалярная кривизна имеет размеры$\mathrm{L}^{-2}$. Обратите внимание, что тензоры Римана и Риччи (с указанным выше контра/ковариантным типом) требуют для своего определения не метрики, а аффинной связи. Они безразмерны независимо от того, какие измерения мы придаем метрике. По построению (полностью ковариантный) тензор Эйнштейна также всегда безразмерен.

Важная операция, выполняемая с метрикой:

• «понижение индекса» тензора умножает его размерность на$\mathrm{L}^2$, а "повышение индекса" умножает их на$\mathrm{L}^{-2}$(если вы согласны с моим обсуждением выше).

Тензор напряжения-энергии-импульса

Каковы абсолютные размерности ко-контравариантного тензора энергии-импульса-импульса?$\pmb{T}{}_{\bullet}{}^{\bullet}$? Мы должны искать и здесь операциональный смысл. Исследования по этому вопросу все еще продолжаются (см. обзор выше). Основные моменты изложены в этом ответе . В литературе предлагаются три основных условности:

1. $\operatorname{dim}(\pmb{T}) := \mathrm{E}\mathrm{L}^{-1} = \mathrm{M} \mathrm{L} \mathrm{T}^{-2}$

2. $\operatorname{dim}(\pmb{T}) := \mathrm{M} \mathrm{L}^{-1}$

3. $\operatorname{dim}(\pmb{T}) := \mathrm{M}\mathrm{L}^{-3} \mathrm{T}^{2}$

Первый, безусловно, наиболее распространен, второй используется несколькими, но важными авторами, третий — МакВитти.

постоянная Эйнштейна

постоянная Эйнштейна$\kappa$поэтому связывает безразмерную величину и размерность тензора энергии-импульса-импульса:

Если мы используем соглашение 1. выше, то легко увидеть, что$\operatorname{dim}(\kappa) = \mathrm{E}^{-1}\,\mathrm{L}$, а это размеры$8\pi G/c^4$. Это наиболее широко используемое соглашение.

Если мы используем соглашение 2. выше, то$\operatorname{dim}(\kappa) = \mathrm{M}^{-1}\,\mathrm{L}$, а это размеры$8 \pi G/c^2$. Это значение постоянной Эйнштейна действительно используется Фоком (1964, стр. 199) и некоторыми другими авторами (например, Синг, Адлер-Базен-Шиффер, МакВитти).

Дополнительные ссылки

• Берк (1980): пространство-время, геометрия, космология (университетские научные книги)
• Берк (1987): Прикладная дифференциальная геометрия (Кембридж)
• Эккарт (1940): Термодинамика необратимых процессов. III. Релятивистская теория простой жидкости , Phys. Откр. 58, 919.
• Фок (1964): Теория пространства, времени и гравитации (Пергамон)
• Мизнер, Торн, Уиллер (1973): Гравитация (Фримен)
• Schouten (1989): Тензорный анализ для физиков (Dover, 2-е изд.)