Единственность выражения элемента группы Ли

Экспоненты в вашей факторизации определяются однозначно, если они существуют, но не сами экспоненты.

Для связанных факторизаций в общих группах Ли см. http://en.wikipedia.org/wiki/Lie_group_decompositions .

Позволять$\mathfrak{G}$быть группой Ли конечной размерности$N$с алгеброй Ли$\mathfrak{g}=\mathrm{Lie}(\mathfrak{G})$.

Предположим далее, что векторы$\{\hat{X}_j\}_{j=1}^N\subset \mathfrak{g}$ охватывать алгебру Ли$\mathfrak{g}$( т.е. являются$\mathfrak{g}$-основа).

Тогда есть какой-то район$\mathcal{N}\subset\mathfrak{G}$личности в$\mathfrak{G}$так, что для каждого члена$\gamma\in\mathcal{N}$можно найти (в общем случае неединственное)$\tau_j\in\mathbb{R}$ то есть

Это ситуация в вашем вопросе, где$i\,J_z,\,i\,J_\pm$охватывать$\mathfrak{su}(2)$.

Действительно есть открытое соседство$\mathcal{U}\subset\mathbb{R}^N$из$\mathbf{0}\in\mathbb{R}^N$в$\mathbb{R}^N$так что функция:

биективен. $\tau_j$называются тогда каноническими координатами второго рода для окрестности$\mathcal{N}$: это уникальные координаты в районе$\mathcal{U}$.

Теперь это не исключает очков$(\tau^\prime_j)_{j=1}^N$ за пределами района$\mathcal{U}$так что:

и это объясняет пример Qmechanic , что любой$b\in 4\pi\mathbb{Z}$и$a=0=c$даст вам продукт, равный личности.

Из (2) следует, что каждый член компоненты тождественной связности$\mathfrak{G}$можно представить в виде конечного произведения вида:

то есть$M$-кратное произведение канонического координатного произведения. В компактной группе существует строгий верхний предел, зависящий от точного$\mathfrak{g}$-основа выбрана для$M$, количество необходимых множителей. В некомпактной группе такой границы нет. Таким образом, есть много членов группы (вне$\mathcal{N}$) в компоненте тождества$\mathfrak{G}$которым нельзя задать канонические координаты, и они действительно требуют большего произведения вида (4). Если рассматриваемый член группы лежит вне компоненты единичной связности, то никакое произведение вида (4) его не реализует.$SU(2)$, однако, подключен (на самом деле просто подключен), поэтому здесь у вас нет этой проблемы. Более того, в частном случае$SU(2)$для частного случая базиса$\{J_z,\,J_+,\,J_-\}$которую вы выбрали, функция, определяемая (2), только с тремя элементами произведения, сюръективна на$SU(2)$. Однако он не является инъективным, как мы уже отмечали на примере Qmechanic .

В одном из комментариев говорилось, что неспособность продуктов (3) и (4) реализовать членов группы была вызвана отсутствием сюръективности экспоненциальной карты. Это неправильно. В общем случае группы Ли имеется много членов группы (вне$\mathcal{N}$) в компоненте тождества$\mathfrak{G}$для которого решения (1), как мы уже отмечали, нет. Это совершенно не зависит от того, является ли экспонента сюръективной. В некомпактной группе все члены компонента тождественной связности всегда могут быть представлены произведением вида (4), просто могут быть определенные элементы, скажем$\zeta$, в компоненте идентичности, которые не являются экспонентами какого-либо одиночного члена алгебры Ли, т.е. $\zeta\not\in\exp(\mathfrak{g})$и нет$X\in\mathfrak{g}$такой, что$e^X=\zeta$.

Экспоненциальное отображение сюръективно в$SU(2)$, действительно в$SU(N)$. Это легко увидеть, потому что все унитарные матрицы нормальны, поэтому$\gamma\in SU(N)$унитарно диагонализируема как$\gamma=T\,\exp(i\,\mathrm{diag}(\phi_1,\,\phi_2,\,\cdots))\,T^\dagger$, где$\phi_j\in\mathbb{R}$и так$X=i\,T\,\mathrm{diag}(\phi_1,\,\phi_2,\,\cdots)\,T^\dagger\in\mathfrak{su}(N)$таков, что$\gamma=e^X$.

Экспоненциальное отображение сюръективно для всех компактных связных групп Ли . Однако, как показывает наш пример, он инъективен не во всей группе, а только в ограниченной окрестности единицы.

Экспоненциальное отображение не может быть сюръективным на некоторых некомпактных связных группах: оно сюръективно для$SE(2)$, собственно двумерная евклидова группа (вероятно, для$SE(N)$тоже, но я не вычислял этот), но он не может быть сюръективным в$SL(2,\,\mathbb{R})$и$SL(2,\,\mathbb{C})$. пример:

где$\alpha\in\mathbb{R}$является стандартным примером элемента группы Ли, который не является экспонентой какого-либо элемента$\mathfrak{sl}(2,\,\mathbb{R})$.

Естественно,$\exp$не является сюръективным ни на какой несвязной группе Ли (с более чем одной компонентой связности).

До сих пор остается открытым вопрос теории Ли о том, каковы точные условия сюръективности экспоненты.

Комментарий к вопросу (v1): Нет, такое разложение, вообще говоря, не единственно. Например, единичный элемент${\bf 1}_{2\times 2}\in SU(2)$можно записать с параметрами$b\in 4\pi\mathbb{Z}$и$a=0=c$.

На самом деле часто бывает так, что вычисления упрощаются, когда диапазон параметров таков, что некоторые элементы не представлены однозначно. Необходимым условием уникальности параметризации является то, что интегрирование по диапазону параметров дает объем группы (объем не всегда точно известен).