Теорема Вигнера-Экарта SU (3)

Существует множество методов вычисления матричных элементов генераторов простой алгебры Ли в заданном представлении. Для рассматриваемой проблемы я попытаюсь достаточно подробно описать два метода и набросать два других метода.

Отдельные вычисления на самом деле включают в себя элементарную линейную алгебру и комбинаторику, но они довольно длинные. Например, чтобы получить все матричные элементы в присоединенном представлении, нужно$8 \times 8 \times 8$вычисления

Способ-1

Присоединенное представление (по определению) может быть реализовано таким образом, что матричные элементы относительно некоторого ортонормированного базиса являются структурными константами

$\langle u_b | T_a | u_c\rangle = f^a_{bc}$

Метод-2

В$SU(3)$, присоединенное представление возникает в тензорном произведении фундаментального представления и двойственного ему:

$3\otimes\bar{3}\rightarrow 8 \oplus 1$

Для базисных векторов принято использовать имена кварков и антикварков.

основное представление:$u : (1,0), d : (-1, 1), s : (0, -1)$

его двойной$\bar{u} : (-1,0), \bar{d} : (1, -1), \bar{s} : (0, 1)$

Веса присоединенного представления задаются следующим образом: (см. Из уравнения Слански на стр. 32 (5.4))

$v_1 : (1,1), v_2 : (-1,2), v_3 : (2,-1), v_4 : (0,0), v_5 : (0,0), v_6 : (1,-2), v_7 : (-2,1), v_8 : (-1,-1)$

В то время как для ненулевых весов есть только один вариант построения тензорного произведения:

$v_1 = u \otimes \bar{s}$

$v_2 = d \otimes \bar{s}$

$v_3 = u \otimes \bar{d}$

$v_6 = s \otimes \bar{d}$

$v_7 = d \otimes \bar{u}$

$v_8 = s \otimes \bar{u}$

Подпространство нулевого веса натянуто на$u \otimes \bar{u}$,$d \otimes \bar{d}$,$s \otimes \bar{s}$, но из разложения тензорного произведения мы знаем, что весовые векторы в этом подпространстве должны быть ортогональны скаляру$u \otimes \bar{u} + d \otimes \bar{d} + s \otimes \bar{s}$, поэтому мы можем выбрать:

$v_4 = \frac{u \otimes \bar{u} - d \otimes \bar{d}}{\sqrt 2}$

$v_5 = \frac{u \otimes \bar{u} + d \otimes \bar{d} -2 s \otimes \bar{s}}{\sqrt 6}$

Теперь генераторы алгебры Ли на тензорном произведении имеют вид:

$T^a = T_{3}^a \otimes I + I \otimes T_{\bar{3}}^a$,

где действие на фундаментальное представление осуществляется через матрицы Геллмана

$T_{3}^a = \lambda^a$

а действие на двойственное осуществляется с помощью отрицательного транспонирования (не эрмитова сопряжения):

$T_{\bar{3}}^a = -{\lambda^a}^t$

Теперь мы можем вычислить матричные элементы, например:

$\langle v_1 | T^3 | v_3\rangle = -\langle u \otimes \bar{s} | \lambda^3 \otimes I + I \otimes{ \lambda^3}^t | u \otimes \bar{d} \rangle = - \langle \bar{s} | { \lambda^3}^t |\bar{d} \rangle$

То есть можно вычислить матричные элементы в присоединенном представлении через матричные элементы в фундаментальном представлении и его двойственном.

Следует подчеркнуть, что матрицы, полученные этим методом, скорее всего, будут отличаться от матриц, полученных первым методом, но будут унитарно эквивалентны.

Способ-3

Базис присоединенного пространства представления может быть записан в терминах 8 таблиц Юнга, в которых первая строка имеет длину 2, а вторая строка длины 1. Этот метод позволяет записать матричные элементы через матричные элементы тройки тензорное произведение фундаментального представления. Однако я не буду приводить здесь пример.

Метод-4

Матричные элементы в базисе Картана-Вейля в принципе можно вычислить по весовой диаграмме.