Является ли SU(2)×U(1)=U(2)SU(2)×U(1)=U(2)SU(2)\times U(1) = U(2)?

Question

Является ли SU(2)×U(1)=U(2)SU(2)×U(1)=U(2)SU(2)\times U(1) = U(2)?

Физика
топология
алгебра лжи
теория групп
математическая физика
групповые представления

phy_math

Во многих учебниках по Стандартной модели я встречаю отношение

\begin{aligned} С U (2)_{л} \times U (1)_{л} "=" U (2)_{л} . \end{aligned}

$\begin{align} SU(2)_L \times U(1)_L = U(2)_L. \end{align}$ Здесь нижний индекс

L

$L$ означает леворукость (т. е. хиральность фермионов). Верно ли приведенное выше соотношение в общем случае? То есть есть

\begin{aligned} С U (2) \times U (1) "=" U (2) ? \end{aligned}

$\begin{align} SU(2) \times U(1) = U(2)\ ? \end{align}$

gj255

Насколько я понимаю, индексы в этих группах — это просто ярлыки, напоминающие нам об объектах, на которые они воздействуют. Итак, мы пишем

S U (3)_{C}

$SU(3)_C$ или

S U (3)_{F}

$SU(3)_F$ в зависимости от того, рассматриваем ли мы группу

S U (3)

$SU(3)$ воздействовать на триплет цветовых состояний кварка или триплет ароматов (вверх, вниз, странный). В обоих случаях это одна и та же группа. Следовательно, удаление этикеток вполне законно. По крайней мере, я думаю. Я бы также сказал, что я почти уверен, что изоморфизм на самом деле

С U (2) \times U (1) "=" U (2) \times Z_{2}

$SU(2) \times U(1) = U(2) \times Z_2$ Возможно, кто-нибудь мог бы объяснить, почему книги часто теряют

Z_{2}

$Z_2$ ?

Qмеханик

Связанный с math.SE вопрос: math.stackexchange.com/q/1111766/11127

Джон Баэз

@gj255 - это неправда

S U (2) \times U (1)

$\mathrm{SU}(2) \times \mathrm{U}(1)$ изоморфен

U (2) \times Z_{2}

$\mathrm{U}(2) \times \mathbb{Z}_2$ . Самый простой способ увидеть это — заметить, что

S U (2) \times U (1)

$\mathrm{SU}(2) \times \mathrm{U}(1)$ подключен, при этом

U (2) \times Z_{2}

$\mathrm{U}(2) \times \mathbb{Z}_2$ имеет две связные компоненты.

Ответы (1)

Является ли SU(2)×U(1)=U(2)SU(2)×U(1)=U(2)SU(2)\times U(1) = U(2)?

Насколько я понимаю, индексы в этих группах — это просто ярлыки, напоминающие нам об объектах, на которые они воздействуют. Итак, мы пишем $SU(3)_C$ или $SU(3)_F$ в зависимости от того, рассматриваем ли мы группу $SU(3)$ воздействовать на триплет цветовых состояний кварка или триплет ароматов (вверх, вниз, странный). В обоих случаях это одна и та же группа. Следовательно, удаление этикеток вполне законно. По крайней мере, я думаю. Я бы также сказал, что я почти уверен, что изоморфизм на самом деле $С U (2) \times U (1) "=" U (2) \times Z_{2}$ $SU(2) \times U(1) = U(2) \times Z_2$ Возможно, кто-нибудь мог бы объяснить, почему книги часто теряют $Z_2$ ?
Связанный с math.SE вопрос: math.stackexchange.com/q/1111766/11127
@gj255 - это неправда $\mathrm{SU}(2) \times \mathrm{U}(1)$ изоморфен $\mathrm{U}(2) \times \mathbb{Z}_2$ . Самый простой способ увидеть это — заметить, что $\mathrm{SU}(2) \times \mathrm{U}(1)$ подключен, при этом $\mathrm{U}(2) \times \mathbb{Z}_2$ имеет две связные компоненты.

Qмеханик · Answer 1

Соответствующий изоморфизм группы Ли читается

$\begin{matrix} (1а) & \begin{aligned} U (2) ≅ & [U (1) \times С U (2)] / Z_{2}, \\ Z (С U (2)) ≅ & Z_{2} . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} U(2)~\cong~&[U(1)\times SU(2)]/\mathbb{Z}_2, \cr Z(SU(2))~\cong~&\mathbb{Z}_2.\end{align}\tag{1a}$

Подробно изоморфизм групп Ли (1a) задается выражением
$U (2) ∋ г \mapsto$ $U(2)~\ni~ g\quad\mapsto\quad$ $(\sqrt{дет г}, \frac{г}{\sqrt{дет г}}) \sim (- \sqrt{дет г}, - \frac{г}{\sqrt{дет г}})$ $\left(\sqrt{\det g}, ~\frac{g}{\sqrt{\det g}}\right) ~\sim~ \left(-\sqrt{\det g}, ~-\frac{g}{\sqrt{\det g}}\right)$ $\begin{matrix} (1б) & е [U (1) \times С U (2)] / Z_{2} . \end{matrix}$ $~\in ~[U(1)\times SU(2)]/\mathbb{Z}_2.\tag{1b}$ Здесь $\sim$ символ обозначает $\mathbb{Z}_2$ -отношение эквивалентности. $\mathbb{Z}_2$ -действие устраняет неоднозначность в определении двузначного квадратного корня.
Кажется естественным отметить, что изоморфизм групп Ли (1а) прямым образом обобщается на общие (индефинитные) унитарные ( супер ) группы

$\begin{matrix} (2а) & \begin{aligned} U (п, д | м) ≅ & [U (1) \times С U (п, д | м)] / Z_{| н - м |}, \\ Z (С U (п, д | м)) ≅ & Z_{| н - м |}, \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} U(p,q|m)~\cong~&[U(1)\times SU(p,q|m)]/\mathbb{Z}_{|n-m|}, \cr Z( SU(p,q|m))~\cong~&\mathbb{Z}_{|n-m|},\end{align}\tag{2a}$

где
$\begin{matrix} (2б) & \begin{aligned} п, д, м е & Н_{0}, \\ н \equiv п + д \neq & м, \\ н + м \geq & 1, \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} p,q,m~\in~& \mathbb{N}_0, \cr n~\equiv~p+q~\neq~&m, \cr n+m~\geq ~& 1,\end{align}\tag{2b}$ три целых числа. Обратите внимание, что число $n$ предполагается, что бозонные размеры отличны от числа $m$ фермионных размерностей. Подробно изоморфизм групп Ли (2a) задается выражением $U (п, д | м) ∋ г \mapsto$ $U(p,q|m)~\ni~ g\quad\mapsto\quad$ $(\sqrt[| н - м |]{с г е т г}, \frac{г}{\sqrt[| н - м |]{с г е т г}}) \sim (ю^{к} \sqrt[| н - м |]{с г е т г}, \frac{г}{ю^{к} \sqrt[| н - м |]{с г е т г}})$ $\left(\sqrt[|n-m|]{{\rm sdet} g}, ~\frac{g}{\sqrt[|n-m|]{{\rm sdet} g}}\right) ~\sim~ \left(\omega^k~\sqrt[|n-m|]{{\rm sdet} g}, ~\frac{g}{\omega^k~\sqrt[|n-m|]{{\rm sdet} g}}\right)$ $\begin{matrix} (2с) & е [U (1) \times С U (п, д | м)] / Z_{| н - м |}, \end{matrix}$ $~\in ~[U(1)\times SU(p,q|m)]/\mathbb{Z}_{|n-m|},\tag{2c}$ где $\begin{matrix} (2д) & ю "=" опыт (\frac{2 π я}{| н - м |}) \end{matrix}$ $\omega~:=~\exp\left(\frac{2\pi i}{|n\!-\!m|}\right)\tag{2d}$ это $|n\!-\!m|$ й корень из единства, и $k\in\mathbb{Z}$ .
Интересно, что в случае с одинаковым числом бозонных и фермионных размерностей $n=m$ , центр
$\begin{matrix} (3а) & Z (С U (п, д | м)) ≅ U (1) \end{matrix}$ $Z( SU(p,q|m))~\cong~U(1) \tag{3a}$ становится непрерывным! то есть $U(1)$ -центр $U(p,q|m)$ переместился внутрь $SU(p,q|m)$ , и формула (2а) уже не выполняется!

Примечания на потом: определение нецентральных(!) диагональных элементов $D(\lambda):={\rm diag} (\underbrace{\lambda,~\ldots~, \lambda}_{n\text{ bosonic entries}}, \underbrace{\lambda^{-1},~\ldots~, \lambda^{-1}}_{m\text{ fermionic entries}} )$ ; Определите полупрямой продукт по $(\mu, g) \ltimes (\nu, h):= (\mu\nu, D(\nu)^{-1}gD(\nu) h)$ ;
Примечания на потом: $U (п, д | м) ≅ [U (1) \times С U (п, д | м)] / Z_{| п + д - м |} если н \equiv п + д \neq м;$ $U(p,q|m)~\cong~[U(1)\times SU(p,q|m)]/\mathbb{Z}_{|p+q-m|}\quad\text{if}\quad n\equiv p+q\neq m;$ $U (п, д | м) ≅ [U (1) ⋉ С U (п, д | м)] / Z_{п + д + м};$ $U(p,q|m)~\cong~[U(1)\ltimes SU(p,q|m)]/\mathbb{Z}_{p+q+m};$ $г л (н | м; Ф) ≅ [Ф^{\times} \times С л (н | м; Ф)] / Z_{| н - м |} если н \neq м;$ $GL(n|m;\mathbb{F})~\cong~[\mathbb{F}^{\times} \times SL(n|m;\mathbb{F})]/\mathbb{Z}_{|n-m|}\quad\text{if}\quad n\neq m;$ $г л (н | м; Ф) ≅ [Ф^{\times} ⋉ С л (н | м; Ф)] / Z_{н + м};$ $GL(n|m;\mathbb{F})~\cong~[\mathbb{F}^{\times} \ltimes SL(n|m;\mathbb{F})]/\mathbb{Z}_{n+m};$
Примечания на потом: $U (п, д | м) ∋ г \mapsto$ $U(p,q|m)~\ni~ g\quad\mapsto\quad$ $(\sqrt[н + м]{с г е т г}, Д {(\sqrt[н + м]{с г е т г})}^{- 1} г) \sim (ю^{к} \sqrt[н + м]{с г е т г}, Д {(ю^{к} \sqrt[н + м]{с г е т г})}^{- 1} г)$ $\left(\sqrt[n+m]{{\rm sdet} g}, ~D\left(\sqrt[n+m]{{\rm sdet} g}\right)^{-1}g\right) \quad\sim\quad\left(\omega^k~\sqrt[n+m]{{\rm sdet} g}, ~D\left(\omega^k~\sqrt[n+m]{{\rm sdet} g}\right)^{-1}g\right)$ $е [U (1) ⋉ С U (п, д | м)] / Z_{н + м};$ $~\in ~[U(1)\ltimes SU(p,q|m)]/\mathbb{Z}_{n+m};$

Является ли SU(2)×U(1)=U(2)SU(2)×U(1)=U(2)SU(2)\times U(1) = U(2)?

phy_math

gj255

Qмеханик

Джон Баэз

Ответы (1)

Qмеханик

Qмеханик

Qмеханик

Qмеханик

Единственность выражения элемента группы Ли

Теорема Вигнера-Экарта SU (3)

SU(3)SU(3)\mathrm{SU(3)} разложение 3⊗3¯=8⊕13⊗3¯=8⊕1\mathbf{3} \otimes \mathbf{\bar{3}} = \mathbf{8} \oplus \mathbf{1}?

Глобальная конформная группа в двумерном евклидовом пространстве

Применение нематричной группы Ли?

Как найти тензорные компоненты всех весов представления SU(3)SU(3)SU(3), например шестимерного представления (2,0)(2,0)(2,0)?

Правила ветвления для SU(3)SU(3)SU(3)

Существует ли общая теорема о том, почему экспоненциальное отображение ограниченной группы Лоренца сюръективно?

Почему группа Лоренца использует сложные генераторы в КТП? [дубликат]

Можно ли разложить алгебру Ли sl(2,C)sl(2,C)sl(2,\mathbb{C}) в прямую сумму двух sl(2,R)sl(2,R)sl(2,\mathbb {Р})?