su(1,1)≅su(2)su(1,1)≅su(2)su(1,1) \cong su(2)?

Лестничные операторы принадлежат реальным алгебрам Ли .$^1$

$$\begin{align} su(1,1)~:=~&\{m\in {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}) \mid m^{\dagger}\sigma_3=-\sigma_3m,~ {\rm tr}(m)=0\}\cr ~=~&{\rm span}_{\mathbb{R}}\{ \sigma_1, \sigma_2, i\sigma_3 \}\cr ~\cong~sl(2,\mathbb{R}) ~:=~&\{m\in {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{R}) \mid {\rm tr}(m)=0\}\cr ~=~&{\rm span}_{\mathbb{R}}\{ \sigma_1, i\sigma_2, \sigma_3 \}\cr ~=~&{\rm span}_{\mathbb{R}}\{ \sigma_+, \sigma_-, \sigma_3 \}\cr ~\cong~ so(2,1)~:=~&\{m\in {\rm Mat}_{3\times 3}(\mathbb{R}) \mid m^{t}\eta =- \eta m\}, \end{align}$$ $$\sigma_{\pm}~:=~\frac{\sigma_1\pm i \sigma_2}{2}, \qquad \eta~=~{\rm diag}(1,1,-1),$$ но они не принадлежат реальным алгебрам Ли $$\begin{align} su(2)~:=~&\{m\in {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}) \mid m^{\dagger}=-m,~ {\rm tr}(m)=0\}\cr ~=~&{\rm span}_{\mathbb{R}}\{ i\sigma_1, i\sigma_2, i\sigma_3 \} \cr ~\cong~ so(3)~:=~&\{m\in {\rm Mat}_{3\times 3}(\mathbb{R}) \mid m^{t}=-m\}. \end{align}$$ Все перечисленные выше 5 вещественных алгебр Ли имеют комплексификации , изоморфные $$\begin{align}sl(2,\mathbb{C})~:=~&\{m\in {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}) \mid {\rm tr}(m)=0\}\cr ~=~&{\rm span}_{\mathbb{C}}\{ \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \}.\end{align}$$

--

$^1$Здесь мы следуем математическому определению реальной алгебры Ли. Имейте в виду, что в большей части литературы по физике определение реальной алгебры Ли умножается на обычный дополнительный множитель мнимой единицы.$i$, ср. сноска 1 в моем ответе Phys.SE здесь .

Вы действительно можете идентифицировать генераторы так, как вы это сделали. Однако алгебры Ли и группы Ли различны, потому что, как быстро сказал Qmechanic, вы должны использовать разные условия реальности для коэффициентов.

Общая матрица в$SU(2)$группа пишется как

$$M = \exp[ i( \alpha J_+ + \bar\alpha J_- + \gamma J_0 )]$$ куда $\alpha\in {\mathbb C}$и $\gamma\in {\mathbb R}$а общая матрица в $SU(1,1)$дан кем-то $$M' = \exp [ i( \alpha_+ J_+ + \alpha_- J_- + \beta J_0 ]$$ куда $\alpha_+,\alpha_-,\beta\in {\mathbb R}$три различных действительных числа.

Подводя итог, для$SU(2)$, коэффициенты перед$J_\pm$являются комплексными числами, сопряженными друг с другом, а для$SU(1,1)$, это два независимых действительных числа. (И я прошу прощения, что я не уверен, является ли$i$следует опустить в показателе степени$SU(1,1)$только по вашему соглашению. Вероятно.)

Если вы разрешите все три коэффициента перед$J_\pm,J_0$быть тремя независимыми комплексными числами, вы получите комплексификацию группы. И как еще писал Qmechanic, усложнение обоих$SU(2)$и$SU(1,1)$действительно то же самое, а именно$SL(2,{\mathbb C})$.